2.3（一）导数及其应用【课时作业】A级1．已知dx＝，则m的值为()A.B．C．－D．－1解析：dx＝(lnx－mx)＝(lne－me)－(ln1－m)＝1＋m－me＝，∴m＝.故选B.答案：B2．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是()A.B．C.，(0，＋∞)D．∪(0，＋∞)解析：因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2.所以f′(x)＝3x2＋4x.由f′(x)＝3x2＋4x>0，解得x<－或x>0，即f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，故选C.答案：C3．(2018·广州市高中综合测试(一))已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为()A．(－3,3)B．(－11,4)C．(4，－11)D．(－3,3)或(4，－11)解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得得消去b可得a2－a－12＝0，解得a＝－3或a＝4.故或当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.答案：C4．已知函数f(x)＝ex＋ae－x为偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于()A．ln2B．2ln2C．2D．解析：因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即ex＋ae－x＝e－x＋ae－(－x)，解得a＝1，所以f(x)＝ex＋e－x，所以f′(x)＝ex－e－x.设切点的横坐标为x0，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝.设ex0＝t>0，所以t－＝，解得t＝2(负值已舍去)，得ex0＝2，所以x0＝ln2.故选A.答案：A5．(2018·安徽淮北一模)函数f(x)在定义域R内可导，若f(1＋x)＝f(3－x)，且当x∈(－∞，2)时，(x－2)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．c>a>bC．c>b>aD．b>c>a解析： f(1＋x)＝f(3－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(3)＝f(1)．当x∈(－∞，2)时，(x－2)f′(x)<0，∴f′(x)>0，即此时f(x)单调递增， 0<<1，∴f(0)0；x∈时，y′<0，故函数在上递增，在上递减，所以当x＝时，函数取最大值＋.答案：＋7．设函数f(x)＝g＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为9x＋y－1＝0，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为____________．解析：由曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为9x＋y－1＝0可得g(1)＝－8，g′(1)＝－9.函数f(x)＝g＋x2的导数为f′(x)＝g′＋2x，则有f(2)＝g(1)＋4＝－8＋4＝－4，f′(2)＝g′(1)＋4＝－＋4＝－.故曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－4)＝－(x－2)，即x＋2y＋6＝0.答案：x＋2y＋6＝08．若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋，要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋＝0在(0，＋∞)上有解，即x＝－a，∴a<0.答案：(－∞，0)9．已知f(x)＝ex－ax2，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝bx＋1.(1)求a，b的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．解析：(1)f′(x)＝ex－2ax，所以f′(1)＝e－2a＝b，f(1)＝e－a＝b＋1，解得a＝1，b＝e－2.(2)由(1)得：f(x)＝ex－x2，f′(x)＝ex－2x，令g(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2，所以f′(x)在(0，ln2)上递减，在(ln2，＋∞)上递增，所以f′(x)≥f′(ln2)＝2－2ln2>0，所以f(x)在[0,1]上递增，所以f(x)max＝f(1)＝e－1.10．已知x＝1是f(x)＝2x＋＋lnx的一个极值点．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)设函数g(x)＝f(x)－，若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增，求a的取值范围．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2－＋，x∈(0，＋∞)．因为x＝1是f(x)＝2x＋＋lnx的一个极值点，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.因为f′(x)＝2－＋＝，解f′(x)<0，得00)，g′(x)＝2＋＋(x>0)．因为函数g(x)在[1,2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立，即2＋＋≥0在[1,2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1,2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1,2]．因为在[1,2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.故a的取值范...
