第41讲基本(均值)不等式夯实基础【p88】【学习目标】1．了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【基础检测】1．函数y＝(x>0)取最大值时x的值为()A.B.C.D．2【解析】因为y＝＝≤＝，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立．【答案】A2．已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为()A．4B．2C．8D．16【解析】由a＋b＝＋＝，有ab＝1，则＋≥2＝2.【答案】B3．设0＜x＜1，a＞0，b＞0，a，b为常数，则＋的最小值是()A．4abB．2(a2＋b2)C．(a＋b)2D．(a－b)2【解析】＋＝[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋，又＋≥2ab，当且仅当x＝时等号成立，所以＋的最小值为(a＋b)2.【答案】C4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．【解析】由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.【答案】30【知识要点】1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥__2ab__(a，b∈R)；(2)＋≥__2__(a，b同号)；(3)ab≤(a，b∈R)；(4)≤(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．典例剖析【p88】考点1利用基本(均值)不等式求最值(1)已知xy＝1，且0
，所以x－2y>0.＝＝x－2y＋≥4，当且仅当x＝＋1，y＝时等号成立．【答案】A(2)已知a>0，b>0，且a2＋＝1，则a的最大值为________．【解析】因为a>0，所以a＝≤.又a2＋＝＋＝，所以a≤＝，当且仅当a2＝＋，即a＝，b＝时等号成立，即(a)max＝.【答案】考点2基本(均值)不等式与函数的综合问题已知a2－a<2，且a∈N*，求函数f(x)＝x＋的值域．【解析】由不等式a2－a<2解得－10时，f(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时不等式取“＝”．当x＜0时，因为－x>0，所以f(x)＝x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝－，即x＝－时不等式取“＝”．综上，函数f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．设f(x)＝|lg(x－1)|，若0＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．【解析】先画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象，如图， 0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，∴12，∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，∴＝b－1，∴a＝1＋，∴a＋b＝b＋＋1＝b－1＋＋2≥2＝4，因为b－1≠，∴a＋b>4，∴a＋b的取值范围是(4，＋∞)．【答案】(4，＋∞)【点评】可利用基本不等式求形如y＝的值域，但在求解的过程中要注意运用基本不等式时，等号是否成立，若等号不成立，则可以利用函数的单调性求解．考点3基本(均值)不等式的实际应用某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【解析】(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由得0＜x＜150.设单套丛书的利润为P元，则P＝x－＝x－－30，因为0＜x＜150，所以150－x＞0，所以P＝－＋120，又(150－x)＋≥2＝2×10＝20，当且...
