（全国通用版）高考数学一轮复习 第十二单元 空间向量 高考达标检测（三十三）空间向量2综合——翻折、探索 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考达标检测（三十三）空间向量2综合——翻折、探索1．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3a，点P在AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AC交BC于点F.沿PE将△APE翻折成△A′PE，使得平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使得平面B′PF⊥平面ABC，如图2.(1)求证：B′C∥平面A′PE；(2)若AP＝2PB，求二面角A′PCB′的正切值．解：(1)证明：因为FC∥PE，FC⊄平面A′PE，PE⊂平面A′PE，所以FC∥平面A′PE.因为平面A′PE⊥平面ABC，且平面A′PE∩平面ABC＝PE，A′E⊥PE，所以A′E⊥平面ABC.同理B′F⊥平面ABC，所以B′F∥A′E，从而B′F∥平面A′PE.又FC∩B′F＝F，所以平面B′CF∥平面A′PE.因为B′C⊂平面B′CF，所以B′C∥平面A′PE.(2)易知EC，EP，EA′两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.则C(a,0,0)，P(0,2a,0)，A′(0,0,2a)，B′(a,2a，a)．所以A′C＝(a,0，－2a)，A′P＝(0,2a，－2a)，B′C＝(0，－2a，－a)，B′P＝(－a,0，－a)．设平面A′CP的一个法向量为m＝(x，y,1)，则即解得所以平面A′CP的一个法向量为m＝(2,1,1)．设平面B′CP的一个法向量为n＝(x′，y′，1)，则即解得所以平面B′CP的一个法向量为n＝.设二面角A′PCB′的大小为θ，易知θ为锐角，则cosθ＝＝＝，从而可得tanθ＝，即二面角A′PCB′的正切值为.2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°.EA∥FC，且FC⊥平面ABCD，FC＝2，AE＝1，点M为EF上任意一点．(1)求证：AM⊥BC；(2)点M在线段EF上运动(包括两端点)，试确定M的位置，使平面MAB与平面FBC所成的锐二面角为60°.解：(1)证明： AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，∴AB＝2，连接AC，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos60°＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC. FC⊥平面ABCD，∴FC⊥BC.又AC∩FC＝C，∴BC⊥平面AEFC， AM⊂平面AEFC，∴BC⊥AM.(2)以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，F(0,0,2)，E(，0,1)，AB＝(－，1,0)，设M(x，y，z)，FM＝λFE(0≤λ≤1)，则(x，y，z－2)＝λ(，0，－1)，∴故M(λ，0,2－λ)，∴AM＝(λ－，0,2－λ)．设平面ABM的法向量m＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝1，可得y1＝，z1＝，∴m＝.易知平面FBC的一个法向量为n＝(1,0,0)，∴cos60°＝＝＝，∴λ＝1，∴点M与点E重合时，平面MAB与平面FBC所成的锐二面角为60°.3．如图，已知在长方形ABCD中，AB＝2，A1，B1分别是边AD，BC上的点，且AA1＝BB1＝1，A1E垂直B1D于E，F为AB的中点．把长方形ABCD沿直线A1B1折起，使得平面AA1B1B⊥平面A1B1CD，且直线B1D与平面AA1B1B所成的角为30°.(1)求异面直线A1E，B1F所成角的余弦值；(2)求二面角FB1DA1的余弦值．解：由已知条件可得A1A，A1B1，A1D两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，由已知AB＝2，AA1＝BB1＝1，可得A1(0,0,0)，B1(2,0,0)，F(1,0,1)．又A1D⊥平面AA1B1B，所以B1D与平面AA1B1B所成的角为∠DB1A1＝30°，又A1B1＝AB＝2，A1E⊥B1D，所以A1E＝1，A1D＝，从而易得E，D.(1)因为A1E＝，B1F＝(－1,0,1)，所以cos〈A1E，B1F〉＝＝＝－，所以异面直线A1E，B1F所成角的余弦值为.(2)易知平面A1B1CD的一个法向量m＝(0,0,1)．设n＝(x，y，z)是平面B1DF的法向量，易知B1D＝，所以即令x＝1，得n＝(1，，1)．所以cos〈m，n〉＝＝.由图知二面角FB1DA1为锐角，所以二面角FB1DA1的余弦值为.4．(2018·成都模拟)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD的中点，点R在线段BH上，且＝λ(λ>0)．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B(该点记为P)，如图②所示．(1)若λ＝2，求证：GR⊥平面PEF；(2)是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由题意，可知PE，PF，PD三条直线两两垂直．∴PD⊥平面PEF.在图①中， E，F分别是AB，BC的中点，G为BD的中点，∴EF∥AC，GD＝GB＝2GH.在图②中， ＝＝2，且＝2，∴在△PDH中，GR∥PD，∴GR⊥平面PEF.(2)由...