解析几何专练·作业(三十二)1．(2015·河北邢台模拟)已知△ABC的内切圆与三边AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，已知B(－，0)，C(，0)，内切圆圆心为I(1，t)(t≠0)，设点A的轨迹为L.(1)求L的方程；(2)设直线y＝2x＋m交曲线L于不同的两点M，N，当|MN|＝2时，求m的值．解析(1)设点A(x，y)，由题意得|AB|－|AC|＝|BD|－|CF|＝|BE|－|CE|＝(1＋)－(－1)＝2.根据双曲线定义知点A的轨迹是以B，C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去点E)，∴L的方程为x2－y2＝1，x>1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得3x2＋4mx＋m2＋1＝0. 直线y＝2x＋m交x2－y2＝1(x>1)于不同的两点M，N，∴方程3x2＋4mx＋m2＋1＝0的两根均在(1，＋∞)内．∴∴m<－，且m≠－2.又x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|MN|＝＝·＝·. |MN|＝2，∴·＝2.∴m2＝12. m<－，且m≠－2，∴m＝－2.2．(2015·云南腾冲联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．解析(1)直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay－ab＝0.原点到直线AB的距离为＝，即3a2＋3b2＝4a2b2.①e＝＝⇒c2＝a2.②又a2＝b2＋c2，③由①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2.故椭圆的方程为＋y2＝1.(2)F1(－，0)，F2(，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由于直线PQ的斜率不为0，故设其方程为x＝ky＋，联立直线与椭圆的方程，得⇒(k2＋3)y2＋2ky－1＝0.故④而S△F1PQ＝S△F1F2P＋S△F1F2Q＝|F1F2||y1－y2|＝，⑤将④代入⑤，得S△F1PQ＝＝.又S△F1PQ＝(|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝2a·r＝2r，所以＝2r，故r＝＝≤，当且仅当＝，即k＝±1时，取得“＝”．故△PQF1的内切圆半径r的最大值为.3．(2015·上海闸北期末)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆C过点(－，1)且与抛物线y2＝－8x有一个公共的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A，B两点，求弦AB的长；(3)P为直线x＝3上的一点，在第(2)问的条件下，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．解析(1)由题意得F1(－2,0)，c＝2.又＋＝1，得a4－8a2＋12＝0，解得a2＝6或a2＝2(舍去)，则b2＝2，故椭圆方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝k(x－2)．联立得方程组消去y并整理，得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝.则|AB|＝|x1－x2|＝＝.(3)设AB的中点为M(x0，y0)． x1＋x2＝＝2x0，∴x0＝. y0＝k(x0－2)，∴y0＝－.直线MP的斜率为－，又xP＝3，所以|MP|＝·|x0－xP|＝·.当△ABP为正三角形时，|MP|＝|AB|，可得·＝·，解得k＝±1.即直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.4．已知椭圆C：＋＝1(a>b≥1)的离心率e＝，右焦点到直线2ax＋by－＝0的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与椭圆C交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求实数m的取值范围；(3)过点P(0，－)的直线l交椭圆C于A、B两点，是否存在定点Q，使得以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解析(1)因为e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝2b2，所以a＝b，c＝b.由题意知＝，所以b＝1或(舍去)．所以a2＝2，b2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)联立消去y可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，则Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，解得－
