（浙江专版）高考数学二轮专题复习 保分大题规范专练（六）-人教版高三全册数学试题VIP免费

保分大题规范专练（六）1．已知f(x)＝sin2x－2sin2x＋2.(1)当x∈时，求f(x)的取值范围；(2)已知锐角三角形ABC满足f(A)＝，且sinB＝，b＝2，求△ABC的面积．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋(cos2x＋1)＝2sin＋，又∵x∈，∴2x＋∈，∴f(x)∈[0,2＋]．(2)在锐角三角形ABC中，∵f(A)＝，∴2sin＋＝，∴sin＝0，∵A∈，∴2A＋∈，∴2A＋＝π，∴A＝，又∵sinB＝，B∈，∴cosB＝，∴sinC＝sin＝×＋×＝，∴c＝·sinC＝，∴S△ABC＝bcsinA＝×2××＝2＋.2.如图，PABD和QBCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB＝1，∠APB＝90°.(1)求证：BD⊥平面APQ；(2)求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．解：由已知得PABD和QBCD是顶角处三条棱两两垂直，底面是正三角形的正棱锥，其中侧棱长为.(1)证明：易知底面ABCD是菱形，连接AC(图略)，则AC⊥BD.易证PQ∥AC，所以PQ⊥BD.由已知得PABD和QBCD是顶角处三条棱两两垂直，所以AP⊥平面PBD，所以BD⊥AP，因为AP∩PQ＝P，所以BD⊥平面APQ.(2)法一：由(1)知PQ⊥BD，取PQ中点M，连接DM，BM，分别过点P，Q做AC的垂线，垂足分别为H，N.由正棱锥的性质可知H，N分别为△ABD，△BCD的重心，可知四边形PQNH为矩形．其中PQ＝AC＝，PH＝.DM＝＝，S△BDM＝BD·PH＝×1×＝，S△PQD＝PQ·DM＝××＝.令B到平面PQD的距离为h，1则V三棱锥PBDM＝V三棱锥BPQD，即××＝××·h，解得h＝.设BP与平面PQD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.法二：设AC与BD交于点O，取PQ的中点M，连接OM，易知OM，OB，OC两两垂直，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则O(0,0,0)，B，D，P，Q，所以PB＝，PQ＝，PD＝，令m＝(a，b，c)为平面PQD的法向量，则即令a＝2，则m＝(2,0，－)．设直线PB与平面PDQ成角为θ，所以sinθ＝|cos〈m，PB〉|＝＝＝.3．已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝sin＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))．(1)求实数a，b的值和直线l的方程；(2)证明：f(x)>g(x)．解：(1)f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝cos＋b，则f′(0)＝a，g′(1)＝b，又f(0)＝a，g(1)＝1＋b，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝ax＋a；曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1，则a＝b＝1，直线l的方程为y＝x＋1.(2)证明：由(1)知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sin＋x，只需证f(x)＝ex＋x2≥x＋1≥sin＋x＝g(x)．设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1，则F′(x)＝ex＋2x－1，由F′(x)＝0，可得x＝0，当x<0时，F′(x)<0；当x>0时，F′(x)>0，故F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以F(x)min＝F(0)＝0.再设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin，则G(x)≥0，当且仅当＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝4k＋1(k∈Z)时等号成立．由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，故f(x)>g(x)．2