3（二）导数的综合应用【课时作业】A级1．(2018·昆明市高三摸底调研测试)若函数f(x)＝2x－x2－1，对于任意的x∈Z且x∈(－∞，a)，都有f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]B．(－∞，0]C．(－∞，4]D．(－∞，5]解析：对任意的x∈Z且x∈(－∞，a)，都有f(x)≤0恒成立，可转化为对任意的x∈Z且x∈(－∞，a)，2x≤x2＋1恒成立．令g(x)＝2x，h(x)＝x2＋1，当x0，所以x≠0时，>0，即当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，此时函数g(x)单调递增，此时g(x)>g(0)＝0，当x0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数．已知函数f(x)＝x3－x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________．解析： f(x)＝x3－x2＋1，∴f′(x)＝3x2－3x，∴f″(x)＝6x－3
令f″(x)>0，即6x－3>0，解得x>
∴x的取值范围是
答案：4．已知函数f(x)＝，g(x)＝－(x－1)2＋a2，若当x>0时，存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，等价于f(x)min≤g(x)max
因为g(x)＝－(x－1)2＋a2，x>0，所以当x＝1时，g(x)max＝a2
因为f(x)＝，x>0，所以f′(x)＝＝
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝e
又g(x)max＝a2，所以a2≥e⇔a≤－或a≥
故实数a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．答案：(－∞，－]∪[，＋∞)5．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知函数f(x)＝lnx＋，a∈R
(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明f
