高考数学大二轮复习 层级二 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合应用课时作业-人教版高三全册数学试题VIP免费

第3讲圆锥曲线的综合应用限时60分钟满分60分解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(2,1)，且离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B分别是椭圆C的上顶点、右顶点，点P是椭圆C在第一象限内的一点，直线AP，BP分别交x轴，y轴于点M，N，求四边形ABMN面积的最小值．解析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的基本性质以及直线方程，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．(1)由离心率及c2＝a2－b2得a，b的关系，再把已知点代入即可求出标准方程；(2)设出点P的坐标，得到直线AP，BP的方程，从而表示出点M，N的坐标，进而得到|AN|·|BM|，最后利用S四边形ABMN＝S△OMN－S△OAB及基本不等式求面积的最小值．(1)由椭圆的离心率为得，＝，又c2＝a2－b2，∴a＝2b.又椭圆C经过点(2,1)，∴＋＝1，解得b2＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)可知，A(0，)，B(2，0)，设P(x0，y0)(0＜x0＜2，0＜y0＜)，则直线AP：y＝x＋，从而M.直线BP：y＝(x－2)，从而N. ＋＝1，∴|AN|·|BM|＝·＝＝＝8.∴S四边形ABMN＝S△OMN－S△OAB＝(|OM|·|ON|－|OA|·|OB|)＝(|BM|＋2|AN|＋8)＝(|BM|＋2|AN|)＋4≥4＋·2＝4＋4(O为坐标原点)，当且仅当|BM|＝4，|AN|＝2时取得最小值．2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点M到直线x＋y＋4＝0的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．解：本题主要考查椭圆与直线的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．(1)由题意可得，，解得，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y＋2＝k(x－4)，k＜0且k≠－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得，得(1＋4k2)x2－16k(2k＋1)x＋64k(k＋1)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，因为kMA＋kMB＝＋＝，所以kMA＋kMB＝2k－(4k＋4)×＝2k－4(k＋1)×＝2k－(2k＋1)＝－1(为定值)．3．(2019·淮南三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线4x＋3y－5＝0与以坐1标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1.①求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标；②若O为坐标原点，求OM·ON的取值范围．解析：(1)由题意可得离心率e＝＝，又直线4x＋3y－5＝0与圆x2＋y2＝b2相切，所以b＝＝1，结合a2－b2＝c2，解得a＝，所以椭圆C的标准方程为＋x2＝1.(2)①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意知A(0，－)，又直线AM与AN的斜率之积为1，所以·＝1，即有x1x2＝y1y2＋(y1＋y2)＋3，由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN：y＝kx＋t(k≠0)，代入椭圆方程，消去y可得(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，所以x1x2＝，x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2t－＝，y1y2＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝k2·＋kt＋t2＝，所以＝＋＋3，化简得t2＋3t＋6＝0，解得t＝－2(－舍去)，则直线MN的方程为y＝kx－2，即直线MN恒过定点，该定点的坐标为(0，－2)．②由①可得OM·ON＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝，由(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，可得Δ＝4k2t2－4(t2－3)(3＋k2)＝48k2－36(3＋k2)＞0，解得k2＞9.令3＋k2＝m，则m＞12，且k2＝m－3，所以＝＝－3，由m＞12，可得－3＜－3＜.则OM·ON的取值范围是.4．(2019·浙江卷)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.2(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标．解：(1)由题意得＝1，即p＝2.所以，抛物线的准线方程为x＝－1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xc，yc)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2.由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B.又由于xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，故2t－＋yC＝0，...