核心素养测评二十四正弦定理、余弦定理的应用举例(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知A,B两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为()A.10kmB.10kmC.10kmD.10km【解析】选D.由余弦定理得,AC2=AB2+CB2-2AB·CB·cos120°=102+202-2×10×20×=700.所以AC=10(km).2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是()A.小时B.小时C.小时D.小时【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×=28x2-20x+100,所以当x=时两船相距最近.3.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为()A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+15)m【解析】选A.在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60m,sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=.由正弦定理得PB==30(+)(m),所以建筑物的高度为PBsin45°=30(+)×=(30+30)m.4.已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2km,B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为km,则A,B两船的距离为()A.kmB.kmC.2kmD.3km【解析】选A.画出图形如图所示,由题意可得∠ACB=(90°-25°)+85°=150°,又AC=2,BC=.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos150°=13,所以AB=,即A,B两船的距离为km.5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°,从点A沿北偏东30°方向前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是()A.50mB.100mC.120mD.150m【解析】选A.设水柱高度是h,水柱底端为C,则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(负值舍去),故水柱的高度是50m.6.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于()A.5B.15C.5D.15【解析】选D.在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,所以BC=15.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=15.7.长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处的2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα=()A.B.C.D.【解析】选A.由已知,在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=,所以sinα=,所以tanα==.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,为了测量河对岸的塔高AB,选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D,现测得∠ACB=45°,∠ADB=30°,∠BCD=60°,CD=20m,则塔高AB=________m.【解析】设塔高AB=hm,在Rt△ABC中,因为∠ACB=45°,所以BC=AB=hm,在Rt△ABD中,因为∠ADB=30°,所以BD=hm,在△BCD中,∠BCD=60°,CD=20,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CD·BCcos60°,即3h2=400+h2-20h,解得h=10.答案:109.(2020·烟台模拟)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上,仰角为α,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,仰角为β,若β=45°,则此山的高度CD=________米,仰角α的正切值为________.【解析】设山的高度CD=x米,由题可得:∠CAB=45°,∠ABC=105°,AB=300米,∠CBD=45°,在△ABC中,可得:∠ACB=180°-45°-105°=30°,利用正弦定理可得:==,解得:CB=300米,AC=150米.在Rt△BCD中,由∠CBD=45°可得:x=CB=300米.在Rt△ACD中,可得:tanα===-1.答案:300-110.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向,且与A相距10海里的C处,沿东偏南15°的方向以每小时9...
