第12练导数几何意义的必会题型[题型分析·高考展望]本部分题目考查导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为选择题和填空题或者在解答题的某一步中出现(难度为低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x0，y0)的切线还是在点(x0，y0)处的切线.常考题型精析题型一直接求切线或切线斜率问题例1(1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝______.(2)(2014·大纲全国)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A.2eB.eC.2D.1点评导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.变式训练1已知f(x)＝x3＋f′()x2－x，则f(x)的图象在点(，f())处的切线斜率是________.题型二导数几何意义的综合应用例2(2014·福建)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x20)上不存在斜率为0的切线，则－1的取值范围是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)6.已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0，16)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是()A.－3B.3C.6D.97.(2015·北京东城区联考)设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A.y＝3xB.y＝－2xC.y＝－3xD.y＝2x8.(2014·江西)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.9.(2015·陕西)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.10.(2015·广州质检)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________.11.(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.12.(2015·天津)已知函数f(x)＝4x－x4，x∈R.(1)求f(x)的单调区间；(2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)；(3)若方程f(x)＝a(a为实数)有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2－x1≤－＋.答案精析第12练导数几何意义的必会题型常考题型精析例1(1)1(2)C解析(1)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1).将(2,7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.(2)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.变式训练1－1解析f′(x)＝3x2＋2f′()x－1，令x＝，可得f′()＝3×()2＋2f′()×－1，解得f′()＝－1，所以f(x)的图象在点(，f())处的切线斜率是－1.例2(1)解由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x
