考点十九二项式定理一、选择题1．(2019·湖北四校六月考前模拟)在6的展开式中，常数项为()A．－240B．－60C．60D．240答案D解析6的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝C(－2)rx12－3r，令12－3r＝0得r＝4，即T5＝C(－2)4＝240，故选D.2．(2019·湖北黄冈2月联考)(1＋x)7展开式中x3的系数为()A．－7B．28C．35D．42答案B解析 二项式(1＋x)7的通项为Tr＋1＝Cxr，分别令r＝3，r＝6，则x3的系数为C－C＝28，故选B.3．(2019·河南百校联盟仿真试卷)(2x2－x－1)5的展开式中x2的系数为()A．400B．120C．80D．0答案D解析 (2x2－x－1)5＝(x－1)5(2x＋1)5，二项展开式(x－1)5的通项为Cx5－r(－1)r，二项展开式(2x＋1)5的通项为C(2x)5－k，(x－1)5(2x＋1)5的通项为(－1)r25－kCCx10－(k＋r)，所以k＋r＝8，即展开式中x2的系数为(－1)522CC＋(－1)421CC＋(－1)3CC＝0.4．(2019·山东聊城二模)已知n展开式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为()A．B．C．－D．－答案A解析因为C＋C＋C＝22，整理得n(n＋1)＝42，解得n＝6，所以二项式6展开式的通项为Tk＋1＝C6－k6－k(－1)kx2k＝C6－k·(－1)kx3k－6，令3k－6＝0得k＝2，所以展开式中的常数项为C6－2(－1)2＝.故选A.5.16的展开式的项中，整式的个数是()A．1B．3C．5D．7答案B解析二项展开式的通项Tk＋1＝C16－k·k＝(－1)kCxy(k∈Z,0≤k≤16)，要使得它为整式，则－8与16－均为非负整数，即8≤≤16，k＝6,8,10，故有3项，选B.6．已知n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为()A．5B．40C．20D．10答案B解析令x＝1，可得3n＝243，n＝5，故展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x3)5－rr＝2rCx15－4r.令15－4r＝7，得r＝2，所以T3＝22Cx7＝40x7，展开式中x7的系数为40.7．二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A．3B．5C．6D．7答案D解析因为展开式中只有第11项的二项式系数最大，所以n＝20.二项式展开式的通项为Tr＋1＝C(x)20－r·r＝C3x，由题得20－r为整数，所以r＝0,3,6,9,12,15,18，所以展开式中x的指数为整数的项的个数为7.8．(2019·湖北八市3月联考)若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝()A．－70B．28C．－26D．40答案C解析令t＝x－3，则(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5可化为(t＋1)5－3(t＋3)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C－3C×3＝10－36＝－26.故选C.二、填空题9.6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)答案60解析6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)6－rr＝r26－rCx，令6－r＝3，得r＝2，∴x3的系数为2·26－2·C＝60.10．(2019·山西晋城三模)(2－3x)2(1－x)7的展开式中，x3的系数为________．答案－455解析依题意，x3的系数为4×C×(－1)3－12×C×(－1)2＋9×C×(－1)＝－455.11．(2019·陕西咸阳模拟检测三)若a>0，b>0，二项式(ax＋b)6的展开式中x3项的系数为20，则定积分2xdx＋2xdx的最小值为________．答案2解析二项式(ax＋b)6的展开式的通项为Tr＋1＝Ca6－rbrx6－r，当6－r＝3，即r＝3时，二次项系数为Ca3b3＝20，∴ab＝1，∴2xdx＋2xdx＝a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号．12．已知m是常数，(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________.答案3解析令x＝0得a0＝－1，令x＝1得(m－1)5＝a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝33＋(－1)＝32，所以m－1＝2，故m＝3.三、解答题13．已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为32.(1)求n；(2)求展开式中二项式系数最大的项．解(1)令x＝1，则(＋3x2)n展开式的各项系数和为4n，又(＋3x2)n展开式的各项二项式系数和为2n，所以＝32，即2n＝32，解得n＝5.(2)由(1)可知：n＝5，所以(＋3x2)5展开式的中间两项二项式系数最大，即T3＝C()3(3x2)2＝90x6，T4＝C()2(3x2)3＝270x.14．(2019·江苏高考)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已知a＝2a2a4.(1)求n的值；(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，求a2－3b2的值．解(1)因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2...
