商丘一高2014-15学年第一学期期中考试高二理科数学试题（奥赛班）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷分第I卷和第II卷两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.第I卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1.若那么下列命题中正确的是().A.B.C.D.2.关于的不等式的解集是,则等于().A.24B.6C.14D.3.当时,不等式恒成立,则的取值范围是().A.B.C.D.4.若实数满足不等式组则的最小值是().A.13B.15C.20D.285.命题是的图象的一条对称轴,命题是的最小正周期,下列命题:①②③④其中真命题的有().A.0个B.1个C.2个D.3个6.若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离,则点的坐标为().A.B.C.D.7.过双曲线的一个焦点,作垂直于实轴的弦,是另一个焦点,若,则双曲线的离心率等于().A.B.C.D.8.若直线与椭圆相交于两点,当变化时,的最大值为().A.2B.C.D.9.若存在实数使成立,则实数的取值范围是().A.B.C.D.10.已知正数满足,则的最小值为().A.27B.18C.36D.5411.已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上任一点,过一焦点引的外角平分线的垂线,垂足为,则的轨迹为().A椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆12.设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为().A.0B.1C.D.31第II卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.不等式的解集为.14.已知函数,在时取最小值，则.15.已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为.16.已知过点的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k=.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分11分)在直角坐标系中，直线L的参数方程为在极坐标系（与直角坐标系长度单位相同，且以O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.(1)求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线L交于点A，B,若点P的坐标为，求的值.18.(本题满分12分)正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，为等腰直角三角形,（1）求证：;（2）设线段的中点为，在直线上是否存在一点,使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3）求二面角的余弦值.ABDCEFMP19.(本题满分12分)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点,点与点关于轴对称,O为坐标原点,若,且,求点的轨迹方程.20.(本题满分12分)已知,对于值域内的所有实数,使不等式恒成立,求的取值范围.221.(本题满分12分)设是圆上的动点,点是在轴上的投影,为上一点,且.(1)当在圆上运动时,求点的轨迹的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被曲线所截得的线段的长度.22.(本题满分12分)是抛物线上的一点,动弦分别交轴于两点,且.(1)若为定点,证明直线的斜率为定值;(2)若为动点,且,求的重心的轨迹方程.3参考答案一、选择题DACAC.BCCDB,DB二、填空题三、解答题17.解：（1）由题意知1，b为方程的两根即（2）不等式等价于17（奥赛）解（1）（2）将L的参数方程代入圆C得化简得由t的几何意义得=18（奥赛）提示建立空间直角坐标系（2）M为线段AE的中点（3）18.解：因此所求的充要条件是，一个必要而不充分条件是19.解由已知，由得20.解：对于值域内的所有实数,不等式恒成立,即421.解：22解：设（2）由（1）得，5
