考点十二数列综合问题一、选择题1．若数列{an}满足an＋1＋an＝(－1)n·n，则数列{an}的前20项的和为()A．－100B．100C．－110D．110答案A解析由an＋1＋an＝(－1)n·n，得a2＋a1＝－1，a3＋a4＝－3，a5＋a6＝－5，…，a19＋a20＝－19，∴{an}的前20项的和为a1＋a2＋…＋a19＋a20＝－1－3－…－19＝－×10＝－100.2．(2019·辽宁葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，{an}满足a1＝1，且an＝则解下4个环所需的最少移动次数为()A．7B．10C．12D．22答案A解析依题意a4＝2a3－1＝2(2a2＋2)－1＝2[2(2a1－1)＋2]－1＝7，故选A.3．(2019·西藏拉萨中学第二次月考)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44D．44＋1答案A解析由an＋1＝3Sn得an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，则an＋1＝4an(n≥2)，又a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)，即a6＝3×44，故选A.4．等差数列{an}中，a1＋a2＝，a2＋a5＝4，设bn＝[an]，[x]表示不超过x的最大整数，[0.8]＝0，[2.1]＝2，则数列{bn}的前8项和S8＝()A．24B．20C．16D．12答案C解析由已知可得⇒⇒an＝1＋(n－1)×＝n＋⇒b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝b7＝b8＝3⇒S8＝16.5．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝2，an＋1－an＝，若数列的前n项和为5，则n＝()A．35B．36C．120D．121答案C解析用裂项相消法求数列的前n项和．因为an＋1－an＝，所以a－a＝4，所以数列{a}是首项为4，公差为4的等差数列，所以a＝4n，因为数列{an}的各项均为正数，所以an＝2，所以＝×＝×(－)，所以Sn＝×[(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝×(－1)＝5，解得n＝120，故选C.6．(2019·安徽宣城第二次调研)已知正项等比数列{an}满足a9＝a8＋2a7，若存在两项am，an，使得aman＝2a，则＋的最小值为()A．2B.C．3D．3答案C解析设等比数列的公比为q(q＞0)， a9＝a8＋2a7，∴a7q2＝a7q＋2a7，∴q2－q－2＝0，∴q＝2或q＝－1(舍去)， 存在两项am，an使得aman＝2a，∴aqm－1＋n－1＝2a，2m＋n－2＝2，m＋n－2＝1，m＋n＝3，∴＋＝×(m＋n)＝≥×9＝3，当且仅当m＝1，n＝2时等号成立．故选C.7．(2019·浙江三校联考二)已知数列{an}满足a1＝a>0，an＋1＝－a＋tan(n∈N*)，若存在实数t，使{an}单调递增，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案A解析由{an}单调递增，得an＋1＝－a＋tan>an，又a1＝a>0，则an>0，所以t>an＋1(n∈N*)．n＝1时，t>a＋1.①n＝2时，t>－a2＋ta＋1，即(a－1)t<(a＋1)(a－1)．②若a＝1，②式不成立，不符合题意；若a>1，②式等价于t＜a＋1，与①式矛盾，不符合题意．排除B，C，D，故选A.8．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋a9>…>1>a1>a2>…>a7，即a8为数列{an}的最大项，故m＝8.11．(2019·湖南株洲二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4,4Sn＝a1＋a2＋…＋an＋1(n≥1)，则an＝________.答案解析当n≥2时，由4Sn＝a1＋a2＋…＋an＋1，得4Sn－1＝a1＋a2＋…＋an...
