知能专练（十七）圆锥曲线的概念与性质一、选择题1．(2017·惠州调研)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，则它的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选A由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，可得＝，∴＋1＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A.B.C.D.解析：选D由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.4．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为()A.B.C.D.解析：选A不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，如图，由题意知，2a＝4，a＝2， ∠CBA＝，BC＝，∴点C的坐标为(－1,1)， 点C在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝，∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为2c＝.5．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.B．2C．2D．3解析：选C法一：由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x轴的上方，得M(3,2)，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为4×＝2.法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，则|MN|＝|MF|＝＝4.又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为4×＝2.6．(2018届高三·湘中名校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与1双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率e的取值范围为()A.B.C.D.解析：选B将x＝c代入－＝1得y＝±，不妨取A，B，所以|AB|＝.将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±，不妨取C，D，所以|CD|＝.因为|AB|≥|CD|，所以≥×，即b≥c，则b2≥c2，即c2－a2≥c2，即c2≥a2，所以e2≥，所以e≥，故选B.二、填空题7．设F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|－|PF2|＝6，那么双曲线C的方程为________，离心率为________．解析：由双曲线定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝6，a＝3，所以曲线C的方程为－＝1.又b＝4，所以c＝＝5，则离心率e＝＝.答案：－＝18．已知抛物线x2＝4y，则其焦点F的坐标为________，若M是抛物线上一点，|MF|＝4，O为坐标原点，则∠MFO＝________.解析：抛物线x2＝4y的焦点坐标F(0,1)．设M(x，y)，由抛物线定义可得|MF|＝y＋1＝4，则y＝3，代入抛物线方程解得一个M(2，3)，则FM＝(2，2)，FO＝(0，－1)，所以cos∠MFO＝＝－，所以∠MFO＝.答案：(0,1)9．(2018届高三·广东五校联考)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．解析：由点P(x0，y0)满足0<＋y<1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)．答案：[2,2)三、解答题10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，解得b＝4.又e＝＝，得＝，即1－＝，则a＝5.所以C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，所以x1＋x2＝3.设AB的中...
