第8章平面解析几何第6节双曲线1．（2014天津，5分）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，所以＝2且左焦点为(－5,0)，所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为－＝1.答案：A2．（2014北京，5分）设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．解析： 与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线方程为－x2＝k.将点(2,2)代入，得k＝－3，∴双曲线C的方程为－＝1，其渐近线方程为－＝0，即y＝±2x.答案：－＝1y＝±2x3．（2014新课标全国卷Ⅰ，5分）已知F是双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B．3C.mD．3m解析：双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.选A.答案：A3．（2014山东，5分）已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.答案：A4．（2014广东，5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的()A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等解析：由00，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D．3解析：选B由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即92－－4＝0，则＝0，解得＝，则双曲线的离心率e＝＝.答案：B6．（2014湖北，5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C．3D．2解析：假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线的方程为－＝1(m>0，n>0)，它们的离心率分别为e1，e2，由|PF1|－|PF2|＝2m，|PF1|＋|PF2|＝2a，得|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，在△PF1F2中，4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos⇒a2＋3m2＝4c2⇒2＋32＝4，则≥2⇒＋＝＋≤，当且仅当a＝3m时，等号成立，故选A.答案：A7．（2013广东，5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c＝3，a＝2，b＝＝＝，故双曲线的方程为－＝1.答案：B8．（2013湖北，5分）已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等解析：本题考查三角函数、双曲线等知识，意在考查考生对双曲线知识的掌握情况，会求实轴、虚轴、焦距和离心率的值，掌握三角函数的重要公式是求解本题的基础．双曲线C1的离心率e1＝＝＝＝，双曲线C2的离心率e2＝＝＝＝＝＝，所以e1＝e2，而双曲线C1的实轴长为2a1＝2cosθ，虚轴长为2b1＝2sinθ，焦距为2c1＝2＝2，双曲线C2的实轴长为2a2＝2sinθ，虚轴长为2b2＝2sinθsinθ，焦距为2c2＝2＝2＝2tanθ，所以A，B，C均不对，故选D.答案：D9．（2013福建，5分）双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C.D.解析：本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，即x±2y＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为＝.答案：C10．（2013浙江，5分）如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若...
