1.3空间几何体的表面积与体积(通用)VIP免费

第1课时柱体、锥体、台体的表面积学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题．知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积思考1正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？答案相等．思考2棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？答案是．梳理图形表面积多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积知识点二圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．思考2圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案底面周长是2πr，利用扇形面积公式得S侧＝×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．思考3圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，如图，＝，解得x＝l.S扇环＝S大扇形－S小扇形＝(x＋l)×2πR－x·2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．梳理图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)类型一棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积例1(1)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°.侧棱长为b，则其侧面积为()A.abB.abC．(＋)abD.ab答案C解析斜棱柱的侧面积等于各个侧面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形．由题意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形． AB＝AC＝a，∴BC＝a. ∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，AA1＝b，∴＝absin60°＝ab.又 ∠BB1C1＝90°，∴侧面BB1C1C为矩形，∴＝ab，∴S斜三棱柱侧＝ab＋ab＋ab＝(＋)ab.故选C.(2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．解如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE、O1E1，则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3.过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，所以E1E＝3.所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3＝108.引申探究本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？解如图，将正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点．O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6，则有＝＝，即＝，所以PO1＝O1O＝12.在Rt△PO1E1中，PE＝PO＋O1E＝122＋32＝153，在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝612，所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3.所以S侧＝4××(BC＋B1C1)×E1E＝2×(12＋6)×3＝108.反思与感悟棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．跟踪训练1已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．解由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2，取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，所以VD＝＝＝，则S△VBC＝VD·BC＝××2＝，S△ABC＝×(2)2×＝3，所以三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．类型二圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积例2(1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，则圆锥的侧面积为________．答案解析设圆柱的高为h，则2πrh＝S，∴h＝....