第三节平面向量的数量积1.平面向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量___________叫做a与b的数量积(或内积).规定:零向量与任一向量的数量积为_____.(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影____________的乘积.|a||b|cosθ0|b|cosθ2.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=___________=____________.λ∈R;(3)(a+b)·c=a·c+b·c.λ(a·b)a·(λb)3.平面向量数量积的性质设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉.结论几何表示坐标表示模|a|=a·a|a|=____________夹角cosθ=a·b|a||b|cosθ=x1x2+y1y2x21+y21·x22+y22a⊥ba·b=0________________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤__________________x21+y21x1x2+y1y2=0x21+y21·x22+y221.向量的数量积是一个数量,它的符号是怎样确定的?【提示】a·b=|a|·|b|·cosθ,当a与b为非零向量时,a·b的符号由夹角的余弦来确定;当a与b至少有一个为零向量或θ=90°时,a·b=0.2.如何用非零向量的数量积证明向量平行与垂直?【提示】|a·b|=|a||b|⇒a∥b;a·b=0⇒a⊥b.1.(教材改编题)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a|·|b|=12,∴θ=π3.【答案】C2.(2011·辽宁高考)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=()A.-12B.-6C.6D.12【解析】由已知得a·(2a-b)=2a2-a·b=0,∴2(22+12)-(-2+k)=0,则k=12.【答案】D3.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为()A.-17B.17C.-16D.16【解析】由a=(-3,2),b=(-1,0),得λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),向量λa+b与a-2b垂直,得3λ+1+4λ=0,所以λ=-17.【答案】A4.(2011·浙江高考)若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为12,则α与β的夹角θ的取值范围是________.【解析】由题意知S=|α||β|sinθ=12≤sinθ, θ∈[0,π],∴θ∈[π6,56π].【答案】[π6,56π]平面向量数量积的概念与运算(1)若a=(3,-4),b=(2,1),则(a-2b)·(2a+3b)=________.(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中,设BC→=2BD→,CA→=3CE→,则AD→·BE→=________.【思路点拨】(1)运用向量数量积的坐标运算;(2)由平面向量基本定理,向量AD→,BE→分别由AB→,AC→表示,借助AB→·AC→=12求AD→·BE→的值.【尝试解答】(1)a-2b=(3,-4)-2×(2,1)=(-1,-6),2a+3b=2×(3,-4)+3×(2,1)=(12,-5),(a-2b)·(2a+3b)=(-1)×12+(-6)×(-5)=18.(2) BC→=2BD→,CA→=3CE→,∴点D是线段BC的中点,点E是线段CA的三等分点,以向量AB→,AC→作为基向量,∴AD→=12(AB→+AC→),BE→=23AC→-AB→,∴AD→·BE→=12(AB→+AC→)·(23AC→-AB→)=13AC→2-12AB→2-16AB→·AC→,又|AB→|=|AC→|=1,且〈AB→,AC→〉=π3.∴AD→·BE→=13-12-16|AB→||AC→|cosπ3=-14.【答案】(1)18(2)-141.平面向量的数量积的运算有两种形式,一是依据长度与夹角,二是利用坐标来计算.2.(1)要有“基底”意识,关键用基向量表示题目中所求相关向量,如本题中用AC→、AB→表示AD→,BE→等;(2)注意向量夹角的大小,以及夹角θ=0°,90°,180°三种特殊情形.3.特别注意:(1)向量数量积a·b中的“·”既不能省略,也不能写成“×”;(2)向量的数量积满足“交换律”、“分配律”,但不满足“结合律”.(1)若将本例中第(2)题改为“在△ABC中,如图4-3-1所示,AD⊥AB,BC→=3BD→,|AD→|=1”.则AC→·AD→=()A.23B.32C.33D.3(2)已知两个单位向量e1,e2的夹角为π3,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.【解析】(1) BC→=3BD→,∴AC→=BC→-BA→=3BD→-BA→=3(AD→-AB→)+AB→=3AD→+(1-3)AB→.又AD⊥AB,|AD→|=1.∴AC→·AD→=3...