第三节平面向量的数量积1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量___________叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为_____.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影____________的乘积．|a||b|cosθ0|b|cosθ2．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝___________＝____________．λ∈R；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.λ(a·b)a·(λb)3．平面向量数量积的性质设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝____________夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥ba·b＝0________________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤__________________x21＋y21x1x2＋y1y2＝0x21＋y21·x22＋y221．向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？【提示】a·b＝|a|·|b|·cosθ，当a与b为非零向量时，a·b的符号由夹角的余弦来确定；当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.2．如何用非零向量的数量积证明向量平行与垂直？【提示】|a·b|＝|a||b|⇒a∥b；a·b＝0⇒a⊥b.1．(教材改编题)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝12，∴θ＝π3.【答案】C2．(2011·辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12【解析】由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝0，∴2(22＋12)－(－2＋k)＝0，则k＝12.【答案】D3．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()A．－17B.17C．－16D.16【解析】由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，得λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，向量λa＋b与a－2b垂直，得3λ＋1＋4λ＝0，所以λ＝－17.【答案】A4．(2011·浙江高考)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【解析】由题意知S＝|α||β|sinθ＝12≤sinθ， θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，56π]．【答案】[π6，56π]平面向量数量积的概念与运算(1)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则(a－2b)·(2a＋3b)＝________.(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________.【思路点拨】(1)运用向量数量积的坐标运算；(2)由平面向量基本定理，向量AD→，BE→分别由AB→，AC→表示，借助AB→·AC→＝12求AD→·BE→的值．【尝试解答】(1)a－2b＝(3，－4)－2×(2,1)＝(－1，－6)，2a＋3b＝2×(3，－4)＋3×(2,1)＝(12，－5)，(a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝18.(2) BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，∴点D是线段BC的中点，点E是线段CA的三等分点，以向量AB→，AC→作为基向量，∴AD→＝12(AB→＋AC→)，BE→＝23AC→－AB→，∴AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·(23AC→－AB→)＝13AC→2－12AB→2－16AB→·AC→，又|AB→|＝|AC→|＝1，且〈AB→，AC→〉＝π3.∴AD→·BE→＝13－12－16|AB→||AC→|cosπ3＝－14.【答案】(1)18(2)－141．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本题中用AC→、AB→表示AD→，BE→等；(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．3．特别注意：(1)向量数量积a·b中的“·”既不能省略，也不能写成“×”；(2)向量的数量积满足“交换律”、“分配律”，但不满足“结合律”．(1)若将本例中第(2)题改为“在△ABC中，如图4－3－1所示，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1”．则AC→·AD→＝()A．23B.32C.33D.3(2)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.【解析】(1) BC→＝3BD→，∴AC→＝BC→－BA→＝3BD→－BA→＝3(AD→－AB→)＋AB→＝3AD→＋(1－3)AB→.又AD⊥AB，|AD→|＝1.∴AC→·AD→＝3...
