基本不等式(很全面)VIP专享VIP免费

基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若，则（2）若，则2、基本不等式一般形式（均值不等式）若，则3、基本不等式的两个重要变形（1）若，则（2）若，则总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若，则(当且仅当时取“=”）（2）若，则(当且仅当时取“=”）（3）若，则(当且仅当时取“=”）（4）若，则（5）若，则特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”6、柯西不等式（1）若，则1（2）若，则有：（3）设是两组实数，则有【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设均为正数，证明不等式:≥题目2、已知为两两不相等的实数，求证：题目3、已知，求证：题目4、已知，且，求证：题目5、已知，且，求证：2题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,abc均为正数,且1abc,证明:(Ⅰ)13abbcca;(Ⅱ)2221abcbca.题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知，求函数的最小值；变式1：已知，求函数的最小值；3变式2：已知，求函数的最大值；变式3：已知，求函数的最大值；练习：1、已知，求函数的最小值；题目2、已知，求函数的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1、当时，求的最大值；变式1：当时，求的最大值；4变式2：设，求函数的最大值。题目2、若，求的最大值；变式：若，求的最大值；题目3、求函数的最大值；变式：求函数的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题题目1、已知，求的最小值；变式1：已知，求的最小值；5变式2：已知，求的最小值；变式3：已知，且，求的最小值。变式4：已知，且，求的最小值；变式5：（1）若且，求的最小值；（2）若且，求的最小值；变式6：已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，求的最小值；变式7：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（）()．A.B.C．5D．66变式8：设若的最小值为（）．A．B．1C．4D．8变式9：已知，且，则的最小值为变式10：已知，，，求的最小值.变式11：求的最小值变式12：已知，求函数的最小值变式13：设正实数满足的最小值为．变式14：【2013天津理】设a+b=2,b>0,则当a=时,取得最小值.变式15：设满足，则的最小值为．7变式16：已知,abR且21ab，则2214ab的最小值是.题型六：分离换元法求最值（了解）题目1、求函数的值域；变式：求函数的值域；题目2、求函数的最大值；变式：求函数的最大值；题型七：基本不等式的综合应用题目1、已知，求的最小值题目2、已知，求的最小值；8变式1：（2010四川）如果，求关于的表达式的最小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当时，函数的图像恒过定点，若点在直线上，求的最小值；变式3：【2017天津】若，则的最小值为题目3、已知，，求最小值；变式1：已知，满足，求范围；变式2：已知，，求最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：已知，，求最大值；9题目4、（2013年山东（理））设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为（）（）A．B．C．D．变式：设是正数，满足，求的最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围题目1、已知，且恒成立，求正实数的最小值；2、已知且恒成立，如果，求的最大值；（参考：4）变式：已知满则，若恒成立，求的取值范围；10题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式若，则2、二维形式的柯西不等式的变式3、二维形式的柯西不等式的向量形式4、三维柯西不等式若，则有：5、一般维柯西不等式11设是两组实数，则有:【题型归纳】题型一：利用柯西不等式一般形式求最值题目1、设，若，则的最小值为时，析：∴最小值为此时∴，，题目2、设，，求的最小值，并求此时之值。：题目3、设，，求之最小值为，此时（析：）12题目4、已知则的最小值是()题目5、设,且满足:,,求的值；题目6、求的最大值与最小值。（：最大值为，最小值为）析：令(2sin，cos，cos)，(1，sin，cos)13