《3.2-函数的极值》导学案VIP专享VIP免费

《3.2函数的极值》导学案课程学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.应用极值解决求参数值、参数取值范围、判断方程的根的个数等问题.课程导学建议重点:函数极值的判定及求法.难点:求含有参数的函数极值的方法与讨论.第一层级知识记忆与理解知识体系梳理创设情境若函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导数f'(x)在(a，b)内的图像如图所示，用极值的定义你能判断函数f(x)在(a，b)内的极小值点有几个吗？知识导学问题1:判断函数y=f(x)的极值的一般方法解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时:(1)如果在x0附近的左侧f'(x0)>0，右侧f'(x0)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f'(x0)<0，右侧f'(x0)>0，那么f(x0)是极小值.问题2:用导数求函数极值的方法和步骤如果y=f(x)在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值.第一步，求导数f'(x).第二步，求方程f'(x)=0的根x=x0.第三步，判断x=x0是不是函数的极值点，若是，则求f(x0)的值，即为极值，若不是，则无极值.问题3:函数的极值有助于分析函数的最值与值域吗？与函数单调性的关系呢？函数的极值有助于分析函数的最值或值域，其实质就是函数单调性的升华.知识链接函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件而非充分条件.函数在x0处取得极值，需要2个条件:①f'(x0)=0；②f'(x0)左、右导函数的值异号.当x0；当x>x0时，f'(x)<0，x0是极大值点.当xx0时，f'(x)>0，x0是极小值点.因此，仅有f'(x0)=0不能得到x0是极值点.但若x0是极值点，则一定有f'(x0)=0.基础学习交流1.已知f'(x0)=0，则下列结论中正确的是().A.x0一定是极值点B.如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，那么f(x0)是极大值C.如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，那么f(x0)是极小值D.如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，那么f(x0)是极大值【解析】直接根据极值概念判断，也可画出图像进行分析.【答案】B2.函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则().A.a-2b=0B.2a-b=0C.2a+b=0D.a+2b=0【解析】y'=3ax2+2bx，据题意，0、是方程3ax2+2bx=0的两根，∴-=，∴a+2b=0.【答案】D3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13，则实数m=.【解析】y'=-3x2+12x，由y'=0，得x=0或x=4，容易得出当x=4时函数取得极大值，所以-43+6×42+m=13，解得m=-19.【答案】-194.若y=x3+kx在R上无极值，求k的取值范围.【解析】y'=3x2+k， y=x3+kx在R上无极值，∴y'≥0恒成立，∴k∈[0，+∞).第二层级思维探究与创新重点难点探究探究一函数的极值与导数的关系求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值与极值点.【方法指导】按照求函数极值的步骤来解题.【解析】f'(x)=3x2-6x-9.解方程3x2-6x-9=0，得x1=-1，x2=3.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:x(-∞，-1)1(-1，3)(3，+∞)f'(x)+-+f(x)↗0↘22↗由表可知:当x=-1时，f(x)有极大值f(-1)=10，x=-1是极大值点；当x=3时，f(x)有极小值f(3)=-22，x=3是极小值点.【小结】求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数f(x)的定义区间，求导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f'(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.探究二利用函数极值确定参数的值已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0，求常数a，b的值.【方法指导】根据函数f(x)在x=-1时有极值0，可知，得出关于a，b的方程组即可求出a，b的值.【解析】因为f(x)在x=-1时有极值0，且f'(x)=3x2+6ax+b，所以即解得或当a=1，b=3时，f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当a=2，b=9时，f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).当x∈(-3，-1)时，f(x)为减函数；当x∈(-1，+∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x=-1时取得极小值，因此a=2，b=9.【小结】(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系...