江苏省邗江中学2014-2015学年度第二学期高二数学期中试卷（理科普通班卷）一、填空题：1．已知是虚数单位，则▲.2．空间两点，之间的距离是▲．3．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应为__▲___．4.已知ii1，12i，ii3，14i，ii5，由此可猜想__▲__．5．二项式展开式中，的系数为▲．6．已知矩阵A－1=，B－1=，则(AB)－1=▲．7．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝_▲_.8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__▲____．9．复平面内有三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则点对应的复数是____▲_____.10．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值等于▲．11．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的概率是___▲___．12．设f(n)＝1＋(n∈N*)，则f(k＋1)－f(k)＝__▲___.13．在某班进行的演讲比赛中，共有位选手参加，其中位女生，位男生.如果位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为▲.(请用数字作答！)14．若9290129(2)(1)(1)(1)xmaaxaxax且229028139()()3aaaaaa，则实数m的值是___▲__．二、解答题：15．已知是复数，若为实数（为虚数单位），且为纯虚数．（1）求复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．16．二阶矩阵M对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）设直线在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求的方程．117.如图，在直三棱柱中，已知，，．请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题：（1）求异面直线与夹角的余弦值；（2）求二面角平面角的余弦值．18．已知在331()2nxx的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由．19.某四星高中推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等级相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．20.已知.（1）求的值；（2）判断与的关系，并用数学归纳法证明.高二数学期中试卷（理科普通班）参考答案及评分标准1．2．3．＝或<4．5．456．7．8．1∶89．10．51011．（或未化简，）12．13．6014．-3或115．已知是复数，若为实数（为虚数单位），且为纯虚数．（1）求复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围解：（1）设．1分2（第17题图）ABCA1B1C1由为实数，得，即．3分由为纯虚数，得．5分∴．6分（2） ，8分根据条件，可知12分解得，∴实数的取值范围是．14分16．二阶矩阵M对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）设直线在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求的方程解：（Ⅰ）设，则有=，=，所以，4分解得所以M=6分（Ⅱ）因为且m：2，10分所以2（x+2y）－（3x+4y）=4，即x+4=0，这就是直线l的方程14分17.如图，在直三棱柱中，已知，，．请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题：（1）求异面直线与夹角的余弦值；（2）求二面角平面角的余弦值．17．如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．则，，，，所以，，，．3（第17题图）ABCA1B1C1（第17题图）ABCA1B1C1（1）因为，所以异面直线与夹角的余弦值为．…………………………7分（2）设平面的法向量为，则即取平面的一个法向量为；设平面的法向量为，则即取平面的一个法向量为；则，所以二面角平面角的余弦值为．…………………………15分18．已知在331()2nxx的展开式中，第6项为常数...
