高二数学数学归纳法知识精讲 人教版VIP免费

高二数学数学归纳法知识精讲人教版一.本周教学内容：§6.12数学归纳法二.重点、难点：在数学的学习与研究中，推理是必不可少的。常用的推理方法可分为演绎法和归纳法两种。在我们证明很多命题的时候，通常施行的都是演绎法，尤其是几何中的定理证明。这种证明方法是我们早已熟悉的，它采用的是由一般到特殊的思维方法，形式上往往采用三段论的方式，即：（1）大前提：所有的直角三角形的两锐角互余；（2）小前提：ΔABC是直角三角形；（3）结论：ΔABC的两个锐角互余。在证明过程中，因大前提往往是大家皆知的公理、定理、定义等，因此往往省略不写。演绎法是我们证明的重要方法，是确认某些结论是否正确的重要手段。其在数学中的重要性不言而喻，但我们在研究问题时，还常常用到如下的一种思维方法，即从特殊到一般的思维方法，举例如下：11121421232193222，，12343211642，……，我们由此发现并得出如下结论：123113212()()()nnnnnN这就是考察具有特征的某几个式子的数值12311321()()nnn后，发现了蕴含其中的共性之后而得到的一个结论。这种思维方法（或推理方法）我们称之为归纳法。也许由归纳法得到的结论未必正确，但它却是我们认识事物，发现规律的重要方法，它是数学发现的不可或缺的方法，值得引起我们重视。接下来的问题就是确认由归纳法得到的结论的正确性。确认的方法是什么呢？或许结论不正确，那么可寻找一反例推翻该结论；或许结论是正确的，那么我们需对此予以严格的证明。如何证明？注意到1＋2＋3＋……＋（n－1）＋n＋（n－1）＋……＋3＋2＋1＝n2（n∈N），实际上是n＝1，2，3，……的无穷多个等式的概括写法，因此要证明上述等式，就需要对n＝1，2，3，……的无穷多个等式逐一证明。事实上，这是做不到的。因此需要一种用以证明这种结论的一般证明方法，这种证明方法就是数学归纳法。数学归纳法是一种变态的演绎法，它不同于前面所提到的归纳法，它是一种用以证明与自然数有关的某些命题的方法，其表现形式如下：（）证明当取第一个值（如或等等）时，命题正确；112000nnnn（2）证明如下事实：假设当n＝k（k∈N且k≥n0）时，命题正确，由此推出当n＝k＋1时命题也正确。完成了以上两步后，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数都正确。如何理解第二步骤？能否正确理解它关系到我们能否正确运用数学归纳法证题。我想同学们都听说或看见过玩多米诺骨牌的情形吧。如果我们能抓住使无穷多块多米诺骨牌倒下的两个必要条件：(1)起始的第一块骨牌倒下；(2)如果任意相邻的两块骨牌中前一块倒下导致后一块倒下，那么我们就可保证在启动第一块骨牌后，所有的骨牌都会倒下。试回顾上述数学归纳法的两个步骤，是否很象多米诺骨牌的两个必要条件。注意，数学归纳法用心爱心专心的第（2）步要做的是证明一种递推关系，即由n＝k（k∈N，k≥n0）时命题成立去证明n＝k＋1时命题成立，而“n＝k时命题成立”是作为导出“n＝k＋1时命题成立”的前提，因此采用了“假设当n＝k（≥n0）时命题成立”的形式。切勿理解为n＝k时，命题是果真成立，它只不过是为了导出n＝k＋1时命题成立的一个假设罢了，也正因为如此，在推证n＝k＋1时的命题时，需用到n＝k时所假设的命题。（我们通常把这一假设称为“归纳假设”）另一个疑问：既然第（2）步已经证明了任两个连续自然数对应的命题的递推关系，那么第（1）步是否是多余的？谁看如下例子：对于欲证的命题：1231211nnn()第二步证明为：若时命题成立，即nkkkk1231211()则当时，nkkkkkkkk112311211112121()()()()()即当时命题也成立nk1但我们会发现：当时，左式，右式，显然命题不成立。n112这个例子说明，数学归纳法的两个步骤，是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可。缺步骤（2），则证明就是“一叶障目，以一代全”不能保证命题对所有的自然数n都成立；而缺步骤（1），则证明就成了“空中楼阁”，也...