专题2.3：函数中一类求和问题的研究与拓展【问题提出】问题1：等差数列的前项和公式如何推导？问题2：为何会用倒序求和而不是奇偶分析？能否给出图形证明？问题3：若，则变式1：设，则=．变式2：（2003年上海春季高考题）设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法可求得的值是．变式3：（2012年全国新课标文科高考题）设函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝__________．【探究拓展】探究1：求和：012123(1)nnnnnnnnSCCCnCnC解：1210(1)32nnnnnnnnSnCnCCCC考虑到knknnCC，将以上两式相加得：01212(2)()nnnnnnnnSnCCCCC所以1(2)2nnSn拓展1：（2013年南通高三数学二模23题）设b>0，函数，记（是函数的导函数），且当x=1时，取得极小值2．（1）求函数的单调增区间；（2）证明．（有点像二项式系数和的形式）【解】（1）由题．于是，若，则，与有极小值矛盾，所以．令，并考虑到，知仅当时，取得极小值．所以解得．故，由，得，所以的单调增区间为．（2）因为，所以记因为，所以，故．拓展2：（2013年宿迁、徐州高三数学三模）已知函数,．（1）当时，求函数的极大值和极小值；（2）是否存在等差数列，使得对一切都成立？并说明理由．解：（1）=，=，令得，因为，所以．当为偶数时的增减性如下表：无极值极大值极小值所以当时，；当时，当为奇数时的增减性如下表：所以时，；当时，．（2）假设存在等差数列使成立，由组合数的性质，把等式变为，两式相加，因为是等差数列，所以，故，所以．再分别令，得且，进一步可得满足题设的等差数列的通项公式为．探究2：设函数，若成等差数列（公差不为零），则．变式1：已知函数，则．123()1234xxxxfxxxxx．为了方便起见，记，由于，所以，故．变式2：设,则的值为．，故倒序相加得和为500．变式3：已知函数，则________．极大值极小值无极值，故，令得：．变式4：已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为_____.拓展：将奇函数的图象关于原点对称这一性质进行拓广，有下面的结论：①函数满足的充要条件是的图像关于点成中心对称．②函数满足为奇函数的充要条件是的图像关于点成中心对称（注：若不属于的定义域时，则不存在）．利用上述结论完成下列各题：（1）写出函数的图像的对称中心的坐标，并加以证明．（2）已知（）为实数，试问函数的图像是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．（3）若函数的图像关于点成中心对称，求的值．解：（1）函数的图像的对称中心的坐标为（）．当（）时，；当（）时，，得证．（2）由，得的图像的对称中心的坐标为．，由结论①得，对实数()，函数的图像关于点成中心对称．（3）由结论②为奇函数，其中为奇函数，故为偶函数（证明略），于是，由可得，因此，，解得为所求．变式1：（2013年上海市春季高考数学试卷）已知真命题：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”.（1）将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;（2）求函数图像对称中心的坐标;（3）已知命题：“函数的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题，请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为,整理得,由于函数是奇函数,对称中心的坐标是.(2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数.设则,即.由不等式的解集关于原点对称,得.此时.任取,由,得,所以函数图像对称中心的坐标是.(3)此命题是假命题.举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数.修改后的真命题:“函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.变式2：已知函数，若对于满足(a，4a)的一切x恒成立，则(a，b)为___________．分析：不难发现，这道题目改编于前文中的高考试题.如果直接利用题中条件，得到.化简得：，...
