课时分层作业(七)(建议用时:40分钟)一、选择题1.u=(2,-2,2)是平面α的一个法向量,v=(1,2,1)是平面β的一个法向量,则下列命题正确的是()A.α,β平行B.α,β垂直C.α,β重合D.α,β不垂直B[u·v=(2,-2,2)·(1,2,1)=2×1-2×2+2×1=0,∴u⊥v,∴平面α⊥平面β.]2.已知直线l1的一个方向向量a=(2,4,x),直线l2的一个方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且l1⊥l2,则x+y的值是()A.-3或1B.3或-1C.-3D.1A[由条件可知|a|==6,且a·b=4+4y+2x=0,解得或,∴x+y=1或-3.]3.在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是()A.相交B.垂直C.不垂直D.成60°角B[因为AB·AP=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,所以AB⊥AP;因为AD·AP=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以AD⊥AP,又AB∩AD=A,所以AP⊥ABCD.]4.已知A(-1,1,2),B(1,0,-1),设D在直线AB上,且AD=2DB,设C,若CD⊥AB,则λ的值为()A.B.-C.D.B[设D(x,y,z),则AD=(x+1,y-1,z-2),AB=(2,-1,-3),DB=(1-x,-y,-1-z), AD=2DB,∴∴∴D,CD=, CD⊥AB,∴CD·AB=2+λ-3(-1-λ)=0,∴λ=-.]5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()1A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面B[建立以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则DA1=(1,0,1),AC=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),E,F,EF=,∴EF·DA1=0,EF·AC=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.]二、填空题6.已知三点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的单位法向量为________.或[三点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则AB=(0,-1,1),AC=(-1,0,1).令平面ABC的法向量为n=(x,y,z),可得,即,∴x=y=z, 平面ABC的法向量n=(x,y,z)为单位法向量,∴x2+y2+z2=1,解得x=y=z=±,故平面ABC的单位法向量是或.]7.设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(2,3,1)垂直,则平面α与β的位置关系是________.垂直[由题意,a·b=(-1,2,-4)·(2,3,1)=-2+6-4=0,∴a⊥b, 根据平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(2,3,1)垂直,∴α⊥β.故答案为垂直.]8.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则BP=________.[ AB⊥BC,∴AB·BC=0,∴3+5-2z=0,∴z=4. BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,∴即解得故BP=.]三、解答题9.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=21,M是线段EF的中点.求证:AM⊥平面BDF.[证明]以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),F(,,1),M.所以AM=,DF=(0,,1),BD=(,-,0).设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量,则n⊥BD,n⊥DF,所以⇒取y=1,得x=1,z=-.则n=(1,1,-).因为AM=.所以n=-AM,得n与AM共线.所以AM⊥平面BDF.10.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E,F分别是棱AB,BC的中点.求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1.[证明]以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图,由题意,知D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,4),E(2,,0),F(,2,0),3则B1E=(0,-,-4),EF=(-,,0).设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z).则n·B1E=-y-4z=0,n·EF=-x+y=0,得x=y,z=-y,令y=1,得n=.又平面BDD1B1的一个法向量为AC=(-2,2,0),而n·AC=1×(-2)+1×2+×0=0,即n⊥AC,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.11.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于下列结论正确的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCD的法向量D.AP∥BDABC[由于AP·AB=-1×2+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,AP·AD=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以A、B、C正确...