3.3.2利用导数研究函数的极值(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列是函数f(x)在[a，b]上的图象，则f(x)在(a，b)上无最大值的是()【解析】在开区间(a，b)上，只有D选项中的函数f(x)无最大值．【答案】D2．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为()A．2B．3C.D．2＋【解析】由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，且x∈(0,1]时，f′(x)<0；x∈(1,5]时，f′(x)>0，∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.【答案】B3．函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是()A．a＞1或a≤0B．a＞1C．0＜a＜1D．a＞1或a＜0【解析】f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a＞0，解得a＜0或a＞1.故选D.【答案】D4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0≤a＜1B．0＜a＜1C．－1＜a＜1D．0＜a＜【解析】 f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0得x2＝a.∴x＝±.又 f(x)在(0,1)内有最小值，∴0＜＜1，∴0＜a＜1.故选B.【答案】B5．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为()【导学号：25650131】A．1B．4C．－1D．0【解析】 f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2＞0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.【答案】B二、填空题6．函数f(x)＝alnx＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.1【解析】f′(x)＝＋2bx＋3＝， 函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．∴由根与系数的关系知解得【答案】－2－7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图337所示，则函数的极小值是________．图337【解析】由图象可知，当x<0时，f′(x)<0，当00，故x＝0时，函数f(x)取到极小值f(0)＝c.【答案】c8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．【解析】 x∈(0,1]，∴f(x)≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝.当00；当
