第二课时等差数列的性质课时跟踪检测[A组基础过关]1．已知是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝()A．－B．－C.D.解析：由题可知＝1，＝，∴数列的公差d＝＝－，∴＝1＋9×＝－，∴a10＝－，故选A.答案：A2．在{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是()A．a21和a22B．a22和a23C．a23和a24D．a24和a25解析：由3an＋1＝3an－2，得an＋1＝an－，∴数列{an}为等差数列．a1＝15，d＝－，∴an＝－n＋，由an>0，得－n＋>0，∴n<，∴a23＝>0，a24＝－<0，∴a23·a24<0，故选C.答案：C3．(2018·宁夏银川月考)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35解析：由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28，故选C.答案：C4．在等差数列{an}中，已知a59＝70，a80＝112，则a101的值为()A．110B．150C．90D．154解析：设公差为d，则a80＝a59＋(80－59)d＝a59＋21d，即112＝70＋21d，∴d＝2.∴a101＝a80＋(101－80)d＝112＋21×2＝154.答案：D5．已知等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝24，则a6＋a7＝()A．12B．16C．20D．24解析：a2＋a3＋a10＋a11＝2(a2＋a11)＝24，1∴a2＋a11＝12，∴a6＋a7＝a2＋a11＝12.答案：A6．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，则这个数列为________．解析：∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，a是－1与b的等差中项，c是b与7的等差中项，即b＝＝3，a＝＝1，c＝＝5.∴所求数列为－1,1,3,5,7.答案：－1,1,3,5,77．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.解析：由于a1－a2＝，b1－b2＝，则＝.答案：8．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12>31，求公差d的取值范围．解：由题意知，将①代入②得7d>21，∴d>3.[B组技能提升]1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为()A．0B．37C．100D．－37解析：设cn＝an＋bn，则{cn}为等差数列，又c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N*)，从而c37＝100.故选C.答案：C2．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A．2B．3C．6D．9解析：由题可得∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6，∴＝3，即m和n的等差中项为3.答案：B3．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19.答案：194．已知△ABC中三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为________．解析：由题可得2②2－①，得2＝2b.∴b2＝ac，又(a＋c)2＝4b2，即(a＋c)2＝4ac，∴a2－2ac＋c2＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，代入①，可得a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．答案：等边三角形5．等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解：解法一：由得∴a1＝19，d＝－2，∴a3＋a6＋a9＝3a1＋15d＝27.解法二：由①－②得3d＝－6.∴a3＋a6＋a9＝a2＋a5＋a8＋3d＝33－6＝27.解法三：由a2＋a5＋a8＝33，得a5＝11，由a1＋a4＋a7＝39，得a4＝13.∴a6＝a5＋(a5－a4)＝11＋(11－13)＝9.∴a3＋a6＋a9＝3a6＝3×9＝27.6．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少个相同的项？解：解法一：设已知两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，又数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1，∴数列{cn}为等差数列，且d＝12，∴cn＝12n－1.又∵a100＝302，b100＝399，∴cn＝12n－1≤302，∴n≤25，∴已知两数列共有25个相同的项．解法二：∵an＝3n＋2，bn＝4n－1，设an＝bm，则有3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)即n＝m－1(n，m∈N＋)．要使n为正整数，m必须是3的倍数．设m＝3k(k∈N＋)，代入n＝m－1，得n＝4k－1.又∵1≤3k≤100，且1≤4k－1≤100，∴1≤k≤25，∴共有25个相同的项．34
