双曲线的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1【解析】选C.由题意知,选项A,B的焦点在x轴上,故排除A,B,C项的渐近线方程为y=±2x.2.(2016·合肥高二检测)点P为双曲线C1:-=1(a>0,b>0)和圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2为双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为()A.B.1+C.+1D.2【解题指南】由题意:PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1,故∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.设|PF2|=m,则|PF1|=m,|F1F2|=2m.由e==,能求出双曲线的离心率.【解析】选C.由题意:PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1,所以∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.设|PF2|=m,则|PF1|=m,|F1F2|=2m.e====+1.【补偿训练】双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为()A.2B.C.D.【解析】选C.依题意·=-1,所以a2=b2.1则e2===2,所以e=.3.(2016·宁波高二检测)与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点(-3,2)的双曲线方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选D.设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),把(-3,2)代入方程得-=λ,所以λ=.故双曲线方程为-=,即-=1.4.设a>1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是()A.(,2)B.(,)C.(2,5)D.(2,)【解析】选B.e2==++2=+1,因为a>1,所以0<<1,1<+1<2,所以21,所以0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.【解题指南】充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.【解析】假设点A在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得A,代入双曲线方程-=1,可得-=1,所以e2-1=,又e>1,所以可求得e=2.答案:27.(2016·菏泽高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且∠AF1B=120°,若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,则k=.【解析】因为以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且∠AF1B=120°,所以△OF1A是等边三角形,所以|AF1|=c,|AF2|=c,所以2a=|AF2|-|AF1|=(-1)c,所以e===+1,因为双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,所以k=2.答案:28.(2016·厦门高二检测)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C13的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为.【解析】设椭圆C1的方程为+=1(a1>b1>0),由已知得所以所以焦距为2c1=10.又因为8<10,所以曲线C2是双曲线.设其方程为-=1(a2>0,b2>0),则a2=4,c2=5,所以=52-42=32=9,所以曲线C2的方程为-=1.答案:-=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·威海高二检测)已知双曲线的一条渐近线为x+y=0,且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.【解析】椭圆方程为+=1,所以椭圆的焦距为8.①当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),所以解得.所以双曲线的标准方程为-=1.②当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a′>0,b′>0),所以解得4所以双曲线的标准方程为-=1.由①②可知,双曲线的标准方程为-=1或-=1.10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求此双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求证:·=0.【解析】(1)因为离心率e==,所以a=b.设双曲线方程为x2-y2=n(n≠0),因为点(4,-)在双曲线上,所以n=42-(-)2=6.所以双曲线方程为x2-y2=6.(2)因为点M(3,m)在双曲线上,故m2=3.又点F1(-2,0),点F2(2,0),所以·=·=-=-1.所以·=0.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2014·重庆高考)...
