热点二数列【考点精要】考点一.等差、等比数列的定义。等差数列的前项和在公差不为0时是关于的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“若数列的前项和。则数列为等差数的充要条件是”；在等差数列中,是等差数列。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况要予以关注。如：数列是等比数列，则就不一定是等比数列。考点二.数列的递推关系。解决递推数列问题的基本原则就是对数列的递推式进行变换。把递推数列问题转换为几类基本数列进行处理。转化的常用方法有：(1)待定系数法。如，可以通过待定系数将其转化为形如的等比数列。(2)取倒数法，如对的基本变换思想是先取倒数，再通过待定系数法变换为。(3)观察变换法，如，可以变换为，转化为等比数列，还有取对数法等。解递推数列问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过转换进行解答，在变换时要小心谨慎、不能出错。考点三.数列与分段函数。通过考查分段函数进而明晰数列n在不同的范围内赋予不同的意义。如：数列中，求。考点四.数列的通项公式。数列通项公式的本身就是一种特殊意义的方程，这种方程的解具有整数性及多元化性。高考中诸多题目均能涉及。如：设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则__________。考点五.数列的前项和。对于数列其前项和为，则二者之间的关系为：，应特别注意时的情况。求的方法较多，如：（1）等差数列时，；（2）等比数列时，；（3）累加法求和；（4）裂项法求和；（5）错位相减法求和；（6）分组求和等。应记住的结论：。巧点秒拨1.数列的通项公式本身就是一种特殊的函数，求数列解析式的方法主要有：观察归纳法；公式法；递推关系法；倒数法等。2.在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等，转化为常见的类型进行求和。3.对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明。【典题对应】例1.(2014·山东文19)在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（Ｉ）求数列的通项公式；（II）设，记，求.命题意图：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式。解析：（Ⅰ）由题意知为等差数列，设， 为与的等比中项，∴，即， 解得：，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.①当n为偶数时：②当n为奇数时：综上：名师坐堂：在通项公式中各项的符号随着n的不同发生变化时，若求其前n项和，一定要对n进行讨论，同时学会进行简易检验，即求得最后结果后，令n取一较小的特殊值验证即可知所求结果的正确性。例2.(2013·山东文20)设等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，∈N*，求的前项和.命题意图：本题主要考查等差数列的通项公式以及前项和公式，由等差数列衍生的其他数列的前项和的求值，考查学生创新解题能力。解析：(1)设等差数列的首项为，公差为，由，得：解得，.因此.(2)由已知，n∈N*，当n＝1时，；当n≥2时，.所以，n∈N*.由(1)知，所以＝，n∈N*.又＝，＝，两式相减得，所以＝.名师坐堂：求数列的前项的方法有：1.公式法；2.错位相减法；3.倒序相加法；4.分组求和法等，在利用错位相减法时应特别注意第一项以及最后一项，求解完后可利用进行验证。例3.（2012·山东文20）已知等差数列的前5项和为105，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.命题意图：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，考查衍生数列的前n项和。解析：(I)由已知得：，解得,所以通项公式为.(II)由，得，即. ，∴是公比为49的等比数列，∴.名师坐堂：本题主要考查等差数列和等比数列的基本性质，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，考查的仍旧是基本能力和基本方法。应记住等差数列中，若则。例4.（2010·山东文18）已知等差数列满足：，.的前n项为.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.命题意图：本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，通过数列方程运用裂项求和的方法求数列的前n项和，题中涉及函数与方程思想，具有基础性与灵活性相结合的命题特点。解析：（Ⅰ）设等差数列的首...
