4．3.1利用导数研究函数的单调性1．已知y＝f(x)，x∈[0,1]，且f′(x)>0，则下列关系式一定成立的是()．A．f(0)<0B．f(1)>0C．f(1)>f(0)D．f(1)
0，说明f(x)在[0,1]上单调递增，故f(1)>f(0)，选C.答案C2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是()．A．y＝－3x2＋3B．y＝ln|x|C．y＝D．y＝sinx答案C3．函数f(x)＝xlnx的单调递减区间是()．A.B.C.D．(e，＋∞)解析∵f′(x)＝lnx＋1，∴由f′(x)<0，即lnx＋1<0得lnx<－1＝lne－1，∴00，则x∈和，令f′(x)<0，则x∈.∴f(x)＝x3－x的单调增区间为和；单调减区间为.(2)y′＝ex－1，令y′>0，即ex－1>0，则x∈(0，＋∞)，令y′<0，即ex－1<0，则x∈(－∞，0)，∴y＝ex－x＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．7．函数f(x)＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数()．A.B．(π，2π)C.D．(2π，3π)解析f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，当x∈(π，2π)时，f′(x)>0.答案B8．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，1则f(x)>2x＋4的解集为()．A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数，∴m(－1)＝f(－1)－[2×(－1)＋4]＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}．即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案B9．使y＝sinx＋ax在R上是增函数的a的取值范围为________．解析y′＝cosx＋a≥0，∴a≥－cosx在R上恒成立，又cosx∈[－1,1]，∴a≥1.答案[1，＋∞)10．函数y＝x(a>0)的单调增区间为________，单调减区间为_______．解析函数的定义域为[0，a]，y′＝，由y′>0结合0≤x≤a，得00时，由f′(x)>0知x>1，由f′(x)<0知00知01.所以a>0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；a<0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)．2
