“折纸问题”的探索与分析VIP专享VIP免费

“折纸问题”的探索与分析泰州市姜堰区实验初级中学颜小兵图形的折叠，主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性来解决问题，由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化为线段和角等关系。比如与学生生活实际结合密切的“包书问题”、“折纸问题”。本文为笔者开设的一节市级初三复习研讨课，就是通过日常生活中常见的折纸形式作为动手操作活动，以矩形纸片的折叠为基础，逐步设计以折叠为背景的数学题目贯穿一堂课的始终而展开教学。问题1：如果把矩形沿EF折叠，四边形ADEF为正方形，矩形EFBC与原矩形相似，那么原矩形的长与宽的比又是多少呢？老师提示：要使矩形EFBC与原矩形相似，关键是两个矩形的所有的边对应成比例，怎样去求原矩形的长与宽的比呢？学生分组讨论，拿出准备好的矩形纸片开始按要求折叠，研究折叠正方形后，如何使矩形EFBC与原矩形相似，并开始观察计算各个线段之间的关系。经过一番讨论后，大部分学生都能够得到以下结果：设原矩形的长为a，宽为b，则折叠后得到的小矩形长为b，宽为（a-b），由两个矩形相似可得：，化简得：a2-ab-b2=0，方程两边同时除以b2，，把看成一个整体，运用换元的思想方法解方程，便可求得．老师赞叹：说得对，这个比值正好符合黄金分割比例啊！问题2：在矩形ABCD中，如果把矩形沿对角线折叠，你能求出什么？分析：这是一道开放性问题，是对矩形折叠问题的探究，学生需要小组合作探究，教师适时引导。生1：我能求出△DFB为等腰三角形。因为矩形折叠沿着对角线折叠之后，∠EBD=∠ABD，由DC平行于AB，得到∠CDB=∠ABD，从而∠EBD=∠CDB，所以DF=BF，因此△DFB为等腰三角形。师：很好，还有吗？生2：我能证明△DEF≌△BCF。将矩形折叠后，DE=DA=BC，∠E和∠C是对应角，再加上一组对顶角，根据全等三角形的知识能够得到△DEF≌△BCF。1师：非常好，还有吗？生3：我能根据△DEF≌△BCF，能够推出DF=BF，也可以说明△DFB为等腰三角形。师：太好了，还有吗？生4：我发现折叠后整个图形中，△ABD与△EBD关于BD成轴对称，△ABD与△CBD成中心对称，因此这三个三角形都是全等三角形。教师小结……问题3：已知矩形ABCD中，长AB=5，宽AD=3，如果沿BE折叠，使A点落到CD上，你能求出什么？教师提问：将矩形沿着BE折叠，使A点正好落到CD上，你们能求出什么？随着老师引导学生不断地分析图形，矩形折叠的要求不断加大，难度也随之提高，教师不断地以阶梯式、引导式的提问让学生去积极思考折叠的情形。学生分组讨论，仔细观察此时图形中出现的许多直角三角形，纷纷思考这些直角三角形之间的关系。第一小组：我们可以解直角三角形BCF。因为矩形沿着BE折叠后，点A与点F对称，那么△ABE≌△FBE，所以BF=AB=5，在Rt△BCF中,利用勾股定理可求得CF=4。老师：很好，那能不能求出线段DE的长度呢？大家纷纷思考，分组展开讨论，教师巡视，了解各小组的讨论进展情况，及时地引导，并加入讨论的行列，课堂气氛非常热烈，下面展示几种同学们认可的解题结果：第二小组：由CF=4，我可以继续求出DF=1，设DE=x，则EA=3-x,EF=3-x,在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF2+DE2=EF212+x2=(3-x)21+x2=9-6x+x2x=即DE=第三小组：我可以直接由△DEF∽△CFB得到：x=师：大家说得都不错，学数学就得大胆地思考，这样思维才更加灵活，解题的方法才会不断增多。2问题4：已知矩形ABCD中，长AB=5，宽AD=3，把矩形沿BE折叠，使A点落在矩形的外面，如果AE=，求DP，CQ的长．随着学生们探索折叠问题的热情不断高涨，老师给出问题的难度不断加深，将点A折叠到矩形的外面，考察学生能否借助于刚才的思考方法去探索。如果我们将矩形沿BE折叠，使A点落在矩形的外面，可以得到哪些图形相似呢？众：△AEB∽△FEB、△DEP∽△FQP、△FQP∽△CQB、△DEP∽△CQB．师：利用这些图形的相似，如何去求DP，CQ的长呢？学生纷纷讨论，但是利用现有相似图形去求DP，CQ的长，学生很难与已知条件结合在一起，让学生陷入了沉思。这时，教师及时提示、引导．师：由已知图形相似很难求出相似比，但我们可以结合以上折叠的方法思路去思考呀，可以通过添加辅助线转化为熟悉图形呀。学生们议论...