7.2.4直线的斜率(一)教学目标1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握过两点的直线的斜率计算公式．数学理论1．直线的倾斜角(1)当直线l与x轴相交时，它的倾斜角α就是x轴绕交点沿旋转到与直线重合时所转的．当直线与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝.(2)倾斜角的范围：0≤α<π.逆时针方向最小正角02．斜率的概念及斜率公式定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝.取值范围当α＝0°时，；当0°＜α＜90°时，；当90°＜α＜180°时，；当α＝90°时，斜率．过两点的直线的斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2).正切值tan_αk＝0k＞0k＜0不存在数学应用题型一已知倾斜角求斜率【例1】已知直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1，l2的斜率．解l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝33. l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l2的斜率k2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－3.方法点评斜率是依据倾斜角来定义的，故题目中含有倾斜角条件时，可考虑先求出直线的倾斜角，再求斜率．【训练1】设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()．A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，为α＋45°，当135°≤α<180°时，为α－135°解析倾斜角的范围是[0°，180°)，因此，只有当α＋45°∈[0°，180°)，即当0°≤α<135°时，l1的倾斜角是α＋45°，当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．故应选D.答案D题型二根据斜率公式求斜率【例2】已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．解(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝2－3－4－3＝17，直线AC的斜率kAC＝－2－30－3＝53，∴直线AB的斜率为17，AC的斜率为53.(2)如图，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是[17，53]．方法点评(1)当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不等，再代入斜率公式求解．(2)数形结合是解决数学问题常用的思想方法，当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．【训练2】已知△ABC三点坐标A(0,0)，B(3，－1)，C(3,5)，求其三边所在直线的斜率；当D点在线段AB(包括端点)上移动时，求CD斜率的变化范围．解由斜率公式得直线AB的斜率kAB＝－1－03－0＝－13，直线AC的斜率kAC＝5－03－0＝53， B、C两点横坐标均为3，相等，所以直线BC与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．∴AB边所在直线斜率为－13，BC边所在直线斜率不存在，AC边所在直线斜率为53.如图．当D由A运动到B点时，直线CD的斜率由kAC增大到＋∞(斜率不存在)，∴CD斜率的变化范围是[53，＋∞)．题型三斜率与倾斜角的综合应用【例3】已知三点A(0，a)，B(2,3)，C(4,5a)在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角．解 三点的横坐标不等，∴三点所共直线的斜率存在．由斜率公式可得kAB＝3－a2－0＝3－a2，kBC＝5a－34－2＝5a－32. 三点在一条直线上，∴kAB＝kBC，即3－a2＝5a－32，解得a＝1.此时这条直线的斜率k＝kAB＝3－12＝1，设这条直线的倾斜角为α，当0°≤α<180°时，只有tan45°＝1，∴α＝45°，即这条直线的倾斜角为45°.方法点评(1)已知三点中，若任意两点连线的斜率相等，则此三点一定共线；反之，当三点共线时，任意两点连线的斜率一定相等(除非都不存在)．解这类问题时要先对斜率是否存在作出判断，有时要先进行讨论，然后再下结论．(2)已知点的坐标，求直线的倾斜角时，要根据斜率公式先求出斜率，再由倾斜角与斜率的关系求倾斜角．【训练3】求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．证明 A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，∴kAB＝－7－－1－2－1＝2，kAC＝－3...
