课时作业(二)空间向量基本定理一、选择题1.下列命题中正确的个数是()①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面.③如果三个向量a,b,c不共面,那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.④若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.A.0B.1C.2D.32.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,p=a+b,q=a-b,一定可以与向量p,q构成空间的另一个基底的是()A.aB.bC.cD.无法确定3.如图所示,空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则MN等于()A.a-b+cB.-a+b+cC.a+b-cD.a+b-c4.对空间任一点O和不共线三点A、B、C,能得到P,A,B,C四点共面的是()A.OP=OA+OB+OCB.OP=OA+OB+OCC.OP=-OA+OB+OCD.以上皆错二、填空题5.下列命题是真命题的是________(填序号).①若A,B,C,D在一条直线上,则AB与CD是共线向量;②若A,B,C,D不在一条直线上,则AB与CD不是共线向量;③若向量AB与CD是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上;④若向量AB与AC是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上.6.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x=________,y=________.7.如图,点M为OA的中点,{OA,OC,OD}为空间的一个基底,DM=xOA+yOC+zOD,则有序实数组(x,y,z)=________.三、解答题8.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3,试判断{OA,OB,OC}能否作为空间的一个基底.19.如图所示,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=a,AD=b,AA′=c,P是CA′的中点,M是CD′的中点,N是C′D′的中点,点Q在CA′上,且CQQA′=41,用基底{a,b,c}表示以下向量:(1)AP;(2)AM;(3)AN;(4)AQ.[尖子生题库]10.如图,空间四边形ABCD中,点G为△BCD的重心,E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点,则AG+BE+CA的化简结果为()A.AFB.AHC.AED.CF课时作业(二)空间向量基本定理1.解析:①中当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内,故②错误;③正确;④不对,a,b不共线.当c=λa2+μb时,a,b,c共面.答案:B2.解析:∵a=p+q,∴a与p,q共面,∵b=p-q,∴b与p,q共面,∵不存在λ,μ,使c=λp+μq,∴c与p,q不共面,故{c,p,q}可作为空间的一个基底,故选C.答案:C3.解析:MN=ON-OM=(OB+OC)-OA=(b+c)-a=-a+b+c.答案:B4.解析:∵OP=OA+OB+OC,∴3OP=OA+OB+OC,∴OP-OA=(OB-OP)+(OC-OP)∴AP=PB+PC,∴PA=-PB-PC,∴P,A,B,C四点共面.答案:B5.解析:①为真命题,A,B,C,D在一条直线上,向量AB,CD的方向相同或相反,因此AB与CD是共线向量;②为假命题,A,B,C,D不在一条直线上,则AB,CD的方向不确定,不能判断AB与CD是否为共线向量;③为假命题,因为AB,CD两个向量所在的直线可能没有公共点,所以A,B,C,D四点不一定在一条直线上;④为真命题,因为AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC是共线向量,所以A,B,C三点共线.故填①④.答案:①④6.解析:因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+λc,于是有解得.答案:1-17.解析:DM=OM-OD=OA-OD,所以有序实数组(x,y,z)=.答案:8.解析:假设OA,OB,OC共面,由向量共面的充要条件知,存在实数x,y,使得OA=xOB+yOC成立,即e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.因为{e1,e2,e3}是空间的一个基底,所以e1,e2,e3不共面,所以此方程组无解.即不存在实数x,y,使得OA=xOB+yOC成立,所以OA,OB,OC不共面.故{OA,OB,OC}能作为空间的一个基底.9.解析:连接AC,AD′,AC′(图略).(1)AP=(AC+AA′)=(AB+AD+AA′)=(a+b+c).(2)AM=(AC+AD′)=(AB+2AD+AA′)=a+b+c.(3)AN=(AC′+AD′)=[(AB+AD+AA′)+(AD+AA′)]=(AB+2AD+2AA′)=a+b+c.(4)AQ=AC+CQ=AC+(AA′-AC)=AC+AA′=AB+AD+AA′=a+b+c.10.解析:∵G是△BCD的重心,∴|GE|=|BE|,∴GE=BE.又EF=CA,∴AG+BE=AG+GE=AE,AE+EF=AF,从而AG+BE+CA=AF.答案:A3