课时作业(二)空间向量基本定理一、选择题1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．A．0B．1C．2D．32．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是()A．aB．bC．cD．无法确定3.如图所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN等于()A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c4．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P，A，B，C四点共面的是()A.OP＝OA＋OB＋OCB.OP＝OA＋OB＋OCC.OP＝－OA＋OB＋OCD．以上皆错二、填空题5．下列命题是真命题的是________(填序号)．①若A，B，C，D在一条直线上，则AB与CD是共线向量；②若A，B，C，D不在一条直线上，则AB与CD不是共线向量；③若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；④若向量AB与AC是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.7.如图，点M为OA的中点，{OA，OC，OD}为空间的一个基底，DM＝xOA＋yOC＋zOD，则有序实数组(x，y，z)＝________.三、解答题8．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底．19.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQQA′＝41，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.[尖子生题库]10.如图，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则AG＋BE＋CA的化简结果为()A.AFB.AHC.AED.CF课时作业(二)空间向量基本定理1．解析：①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a，b不共线．当c＝λa2＋μb时，a，b，c共面．答案：B2．解析：∵a＝p＋q，∴a与p，q共面，∵b＝p－q，∴b与p，q共面，∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.答案：C3．解析：MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.答案：B4．解析：∵OP＝OA＋OB＋OC，∴3OP＝OA＋OB＋OC，∴OP－OA＝(OB－OP)＋(OC－OP)∴AP＝PB＋PC，∴PA＝－PB－PC，∴P，A，B，C四点共面．答案：B5．解析：①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量AB，CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则AB，CD的方向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量；③为假命题，因为AB，CD两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为AB，AC两个向量所在的直线有公共点A，且AB与AC是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.答案：①④6．解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得.答案：1－17．解析：DM＝OM－OD＝OA－OD，所以有序实数组(x，y，z)＝.答案：8．解析：假设OA，OB，OC共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得OA＝xOB＋yOC成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面，所以此方程组无解．即不存在实数x，y，使得OA＝xOB＋yOC成立，所以OA，OB，OC不共面．故{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底．9．解析：连接AC，AD′，AC′(图略)．(1)AP＝(AC＋AA′)＝(AB＋AD＋AA′)＝(a＋b＋c)．(2)AM＝(AC＋AD′)＝(AB＋2AD＋AA′)＝a＋b＋c.(3)AN＝(AC′＋AD′)＝[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)]＝(AB＋2AD＋2AA′)＝a＋b＋c.(4)AQ＝AC＋CQ＝AC＋(AA′－AC)＝AC＋AA′＝AB＋AD＋AA′＝a＋b＋c.10．解析：∵G是△BCD的重心，∴|GE|＝|BE|，∴GE＝BE.又EF＝CA，∴AG＋BE＝AG＋GE＝AE，AE＋EF＝AF，从而AG＋BE＋CA＝AF.答案：A3
