高二数学直线的倾斜角和斜率、直线方程通用版【本讲主要内容】直线的倾斜角和斜率、直线方程直线倾斜角和斜率的概念,过两点的斜率公式,直线方程的五种形式。【知识掌握】【知识点精析】1、直线的方程、方程的直线的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解.这时,这个方程就叫做这条直线的方程;这条直线就叫做这个方程的直线。2、直线的倾斜角:一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾斜角。特别地,当直线l和x轴平行时,我们规定它的倾斜角为0°,因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。直线倾斜角角的定义有下面三个要点:(1)以x轴正向作为参考方向(始边);(2)直线向上的方向作为终边;(3)最小正角。3、直线的斜率:倾斜角不是90°的直线。它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示,即当α∈[0,]时,k∈[O,+∞];当α=时,直线的斜率不存在;当α∈(,л)时,k∈(-∞,0);直线的斜率反映了直线对X轴的倾斜程度。4、过两点的斜率公式:经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点:(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,是研究两条直线位置关系的重要依据,要正确理解概念;斜率公式要在熟练运用上多下功夫。5、直线的方程:①点斜式:已知直线l的斜率是k,并且经过点P1(x1,y1)的直线方程为:当直线的斜率为0°时,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,它的方程是x=x1。②斜截式:已知直线l在y轴上的截距为b,斜率为k,直线的方程为:y=kx+b当k≠0时,斜截式方程就是直线的表示形式,这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距。③两点式:已知直线l上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2)直线方程为:对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到。④截距式:已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0,b≠0),直线的方程为:对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程;(2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴和y轴上的截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示。⑤一般式:AX+BY+C=0(A,B不同时为0)【解题方法指导】例1.如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l2⊥l1,求l1、l2的斜率。解:l1的斜率。l 2的倾斜角α2=90°+30°=120°,的斜率。例2.如果三点A(2m,0)、B(4,-6)、C(-5,3m)同在一条直线上,(1)确定常数m的值;(2)求直线AB的倾斜角。分析:若三点A、B、C在同一条直线上,且斜率存在,则直线AB的斜率与直线BC的斜率相等。解:(1)由于三点所在的直线不可能垂直于X轴,因此设直线AB与直线BC的斜率分别为kAB,kBC,由斜率公式得:kAB==kBC== A、B、C在一条直线上,∴kAB=kBC即=m2-4m-5=0解得:m=5或m=-1(2)设直线AB的倾斜角为α,当m=5时,kAB=1,就是tanα=1 0°≤α<180°∴α=45°当m=-1时,同理可求得α=135°作此题时,要注意kAB与AB的顺序无关,直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得。例3.三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(如图所示),求这个三角形三边所在直线的方程。解:直线AB的方程可由两点式得:即3x+8y+15=0。这就是直线AB的方程。BC的方程也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:kBC==-由斜截式得:y=-x+2即5x+3y-6=0。这就是直线BC的方程。由截距...