3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示。＋＝，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理:复习：共面向量定理:0//aabbabb对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使＝。有向量的一组基底。）叫做表示这一平面内所、（。＋＝，使，一对实数，有且只有任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyoajiaxiyj(1,0),(0,1),0(0,0).ij任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,,abcp�.pxaybzc�都叫做基向量,,abc（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。00（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。一、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)二、空间向量的直角坐标系pxyzOe1e2e3p在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使OA=xe1+ye2+ze3在单位正交基底e1,e2,e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e31向量的坐标就是点A的坐标OA2向量坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.zxOyFEC1B1A1D1DABCzxOyFEC1B1A1D1DABC1、建系（利用三条交于一点两两垂直的直线）2、写（或设）出与向量有关的点的坐标3、利用终点的坐标减去起点的坐标得到有关向量的坐标zxOyFEC1B1A1D1DABCX轴上的点：(x,0,0)y轴上的点：(0,y,0)z轴上的点：(0,0,z)xoy平面的点：(x,y,0)yoz平面的点:(0,y,z)xoz平面的点:(x,0,z)练习：1、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则的坐标为.2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为，关于原点的对称点为，关于X轴的对称点为关于Y轴的对称点关于Z轴的对称点22132eeeAB321eee、、AB关于谁对称谁不变，其余变相反例题已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ[空间向量模的坐标运算公式]232221321),,(aaaaaaaaaa，则设222,212121()()()ABdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz空间两点间的距离公式cos,||||ababab112233222222123123;abababaaabbb两个向量夹角计算公式),,(),,,(321321bbbbaaaa设例1如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值。1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直...
