九年级数学第二十一章第2节二次根式的乘除人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：二次根式的乘除1.二次根式的乘除法则．2.最简二次根式的定义．二.知识要点：1.一般地，对二次根式的乘法规定：·＝（a≥0，b≥0）．把·＝反过来，就得到＝·，利用它可以进行二次根式的化简．化简时应注意：（1）一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来．（2）在计算的过程中既要用到二次根式的乘法法则，又要用到积的算术平方根的性质进行化简．2.一般地，对二次根式的除法规定：＝（a≥0，b＞0）．把＝反过来，就得到＝（a≥0，b＞0），利用它可以进行二次根式的化简．3.最简二次根式（1）定义：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（2）将一个二次根式化简实际上就是将它化成最简二次根式．有以下两种情况：①如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以将二次根式的除法转化为商的算术平方根的形式进行计算．也可以先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后再利用＝＝（a≥0，b＞0）化简．②如果被开方数不含分母，可以先将它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．三.重点难点：掌握和应用二次根式的乘法和除法是本讲重点，难点是正确进行二次根式的化简．【典型例题】例1.计算：（1）×；（2）××．分析：（1）直接应用·＝（a≥0，b≥0）计算，结果中将被开方数能开尽方的因式（数）开方后移到根号外面．（2）应用计算。解：（1）×＝＝＝3．（2）××＝＝＝3×5×7＝105．评析：三个或三个以上的二次根式相乘，同样是被开方数相乘作为被开方数；在被开方数相乘时，要考虑到化简时因数分解，如×直接得再来分解就麻烦了；说明无理数相乘的结果可能是无理数，也可能是有理数．例2.利用二次根式的性质＝（a≥0，b＞0）进行化简．（1）；（2）；（3）．分析：（1）题中的带分数化成假分数；（2）题直接应用性质化简；（3）题先将分母化简，再化去分母中的根号．解：（1）＝＝；（2）＝＝＝＝；（3）＝＝＝＝．评析：（1）按课本约定，题中字母a、b、c、x、y均为正数，可以直接应用二次根式的性质＝a（a≥0）；（2）化去分母中的根号时，一般先把分子、分母中的根式化简，再约分，最后分子、分母同乘一个适当的式子（如（3）题中的）化去根号；（3）题还可以这样做＝＝＝＝＝．例3.把下列各式化成最简二次根式．（1）；（2）；（3）；（4）－．分析：600＝6×102，1000＝10×102，27＝3×32，a3＝a·a2等，先把这些数分解，然后把能开尽方的开方后移到根号前面，最后化去根号下的分母．解：（1）＝＝10；（2）＝＝＝；（3）＝＝3ab；（4）－＝－＝－×＝－＝－．评析：有关二次根式的运算结果都要化简为最简二次根式（或有理式），化简的主要方法有；（1）将被开方数中能开尽方的因式开方后写在根号外；（2）被开方数有分母的用性质＝（a≥0，b＞0）转化后，化去分母的根号．例4.用简便方法计算．（1）－6×（－4）；（2）；（3）；（4）3c÷．分析：（1）先确定符号，用乘法交换律、结合律将两系数与两根式分别相乘；（2）中被开方数是两个负数之积，化成64×81；（3）应用平方差公式较方便；（4）宜将除法转化为乘法（颠倒相乘）．解：（1）－6×（－4）＝6×4××＝24＝24×3×4＝288；另解：－6×（－4）＝－6×（－4）＝－6×3×（－4）×4××＝288；（2）＝＝＝8×9＝72；（3）＝＝＝＝13×11＝143；（4）3c÷＝3c·＝3c·＝2c＝2c·＝a．评析：（1）二次根式的乘除法同整式的乘除法类似，把根号前面的数看成系数；（2）以前学过的运算律、方法与技巧都适用于二次根式，特别是乘法公式的运用，可以简化很多运算；（3）注意≠·．例5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝2，求BC的长．分析：应用勾股定理BC＝．解： ∠C＝90°，∴BC2＝AB2－AC2＝（2）2－（2）2＝52－24＝28．∴BC＝＝2．评析：学过本节知识后，勾股定理的应用就更方便了，几乎涉及勾股定理的计算问题都要用到二次根式知识．例6.比...
