2.3变量间的相关关系VIP专享VIP免费

一、变量之间的相关关系我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？举例说明1.商品销售收入与广告支出经费之间的关系.2.粮食产量与施肥量之间的关系3.人体内脂肪含量与年龄的关系1.函数关系：自变量取值一定，因变量也是定值.2.相关关系：两个变量之间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，若它们的关系是带有随机性的，就说两个变量具有相关关系.利用统计相关关系研究在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？二、两个变量的线性相关判断两个变量之间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关关系，是不是线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系强还是弱．相关关系的判断---散点图散点图两个变量的散点图中点的分布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量值由小变大，另一个变量值也由小变大，我们称这种相关关系为正相关。人体脂肪含量百分比与年龄散点图010203040010203040506070年龄脂肪含量1、两个变量成负相关关系时，散点图有什么特点？两个变量的散点图中点的分布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量值由小变大，而另一个变量值由大变小，我们称这种相关关系为负相关。2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者负相关的例子吗？思考：0204060801001200204060801003、若两个变量散点图呈下图，它们之间是否具有相关关系？人体脂肪含量百分比与年龄散点图02040020406080年龄脂肪含量散点图回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在通过散点图中心的一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线就叫做回归直线。这条回归直线的方程，简称为回归方程。方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。脂肪010203040020406080脂肪如何具体的求出回归方程？方案二、在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。脂肪010203040020406080脂肪如何具体的求出回归方程？方案三、在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。脂肪010203040020406080脂肪如何具体的求出回归方程？上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的定义。求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小”。设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：最小二乘法的公式的探索过程如下：1122(,),(,),,(,),nnxyxyxy如何表达这些点与一条直线之间的距离？ybxa我们可以用点与这条直线上横坐标为的点之间的距离来刻画点到直线的远近，即用(,)iixyix|()|(1,2,3,,)iiybxain表示点到直线的远近这样，用这个距离之和来刻画各点与此直线的“整体距离”是比较合适的，即可以用表示各点到直线的整体距离(,)iixyn1|()|niiiybxa（x1，y1）（x2，y2）（xi，yi）yxO()iiybxaybxa由于绝对值使得计算不方便，在实际中应用2221122()()()nnQybxaybxaybxa这样，问题就归结为：当取什么值时最小？通过配方的方法可得到的值如下：,abQ,ab1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx①这样回归方程的斜率为，截距为，即回归方程为baybxa这种通过求式使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法①小结1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数,xy1niiixy21niix第二步，求和,1122211()(),()nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx...