第2讲三角恒等变换与解三角形[A组夯基保分专练]一、选择题1．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋1，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B．f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋1＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin(2x＋)＋2，则f(x)的最小正周期为＝π，最大值为2＋2＝4.故选B．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝()A．6B．5C．4D．3解析：选A．由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cosA＝＝＝－，得＝6.故选A．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，则sinB为()A．B．C．D．解析：选A．由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝a，因为cosB＝＝＝，所以sinB＝＝.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝()A．B．C．D．解析：选B．由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cosA＝＝＝，故A＝，对于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sinAsinC＝·sinC，由正弦定理得，＝＝＝.故选B．5．(一题多解)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于()A．1B．C．D．2解析：选A．法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，所以BC边上的高h＝＝＝1，故选A．法二：因为tan∠BAC＝－3，所以cos∠BAC＝－<0，则∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于，故选A．6.如图，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cosA等于()A．B．C．D．解析：选C．依题意得，BD＝AD＝＝，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，＝，＝×＝，即＝，由此解得cosA＝.二、填空题7．若sin＝，则cos＝________．解析：依题意得cos＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－.答案：－8．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin2A＝sinC，则c的取值范围为________．解析：由＝，得＝，所以c＝8cosA，因为16＝b2＋c2－2bccosA，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b.因为b∈(4，6)，所以320，所以cosB＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由tanC＝，C∈(0，π)，得sinC＝，cosC＝，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝....
