第2章函数、导数及其应用第9节函数模型及其应用1.（2014湖南，5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C.D.－1解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.答案：D2.（2014山东，5分）已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．解析：函数g(x)的定义域是[－2,2]，根据已知得＝f(x)，所以h(x)＝2f(x)－g(x)＝6x＋2b－.又h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>恒成立，即3x＋b>恒成立．令y＝3x＋b，y＝，则只要直线y＝3x＋b在半圆x2＋y2＝4(y≥0)上方即可，由>2，解得b>2(舍去负值)，故实数b的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)3．（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________(m)．解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力．如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知＝＝＝⇒AF＝x⇒FH＝40－x.则S＝x(40－x)≤2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号．所以满足题意的边长x为20(m)．答案：204．（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想．(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．由h>0，且r>0可得00，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．5．（2012江西，5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表()年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.线性约束条件为即画出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至过点B时，z取得最大值，由求得B(30,20)，故选B.答案：B6．（2013湖南，5分）设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.解析：本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含义、零点存在性定理及推理论证能力．(1)由题设f(x)＝0，a＝b⇒2ax＝cx⇒x＝，又a＋b≤c，a＝b⇒≤⇒x≤x，x>0，所以≤x⇒0c⇒＋>1...
