高二数学导数在研究函数中的应用知识精讲一.本周教学内容：导数在研究函数中的应用二.重点、难点：教学重点：①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．教学难点：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．三.知识要点：1.知识网络2.基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f（x）在这个区间内为增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f（x）在这个区间内为减函数．（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）.②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间．（3）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点．（4）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0）.就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．（5）极大值与极小值统称为极值．（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．用心爱心专心119号编辑1（6）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值．（7）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f'（x）．②求方程f'（x）＝0的根．③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．（8）函数的最大值和最小值：在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．①在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．②函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的．③函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．④函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．（9）利用导数求函数的最值步骤：①求在内的极值；②将的各极值与、比较得出函数在上的最值．例1求下列函数的单调区间：（1）（2）（3）分析：求函数的单调区间的具体步骤是：①确定的定义域；②计算导数；③求出的根；④用的根将的定义域分成若干个区间，列表考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间．解：（1）函数的定义域令得，用分割定义域D，得下表：－21＋0－0＋↗↘↗的单调增区间是和，单调减区间是（－2，1）．（2）函数的定义域令得，用分割定义域D，得下表：－10（0，1）1—0＋0—0＋↘↗↘↗的单调增区间是和，单调减区间是和（0，1）．（3）函数的定义域为，，令得．用心爱心专心119号编辑2其中不在定义域内，用分割定义域D，得下表：x（0，）（，＋）_0＋↘↗的单调增区间是，单调减区间是．点评：较复杂函数，求导数要准确．解不等式y...
