等差数列的前n项和(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5=()A.7B.15C.20D.25【解析】S5====15.【答案】B2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于()A.1B.-1C.2D.【解析】===×=1.【答案】A3.在等差数列{an}中,a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,则m的值为()【导学号:18082088】A.37B.36C.20D.19【解析】∵{an}是等差数列,a1=0,由am=a1+a2+…+a9得0+(m-1)d=9a5=36d.又d≠0,∴m=37.【答案】A4.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=()A.B.C.10D.12【解析】∵公差为1,∴S8=8a1+×1=8a1+28,S4=4a1+6.∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,∴a10=a1+9d=+9=.故选B.【答案】B5.在等差数列{an}和{bn}中,a1+b100=100,b1+a100=100,则数列{an+bn}的前100项和为()A.0B.100C.1000D.10000【解析】{an+bn}的前100项的和为+=50(a1+a100+b1+b100)=50×200=10000.【答案】D二、填空题6.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前5项和S5=10,则其公差为d=________.【导学号:18082089】【解析】a4+a6=a1+3d+a1+5d=6,①S5=5a1+×5×(5-1)d=10,②由①②联立解得a1=1,d=.【答案】7.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,则m=________.【解析】因为am-1+am+1=2am,所以2am-a=0,1所以am=0或am=2.因为S2m-1==(2m-1)am=38,所以am=2,所以(2m-1)×2=38,解得m=10.【答案】108.若数列的前n项和为Sn,且Sn=,则n=________.【解析】∵=-,∴Sn=++…+=+++…+=1-=.由已知得=,解得n=19.【答案】19三、解答题9.等差数列{an}中,a10=30,a20=50.(1)求数列的通项公式;(2)若Sn=242,求n.【解】(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d.则解得∴an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n.(2)由Sn=na1+d以及a1=12,d=2,Sn=242,得方程242=12n+×2,即n2+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去).故n=11.10.在我国古代,9是数学之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图223所示),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第1圈有9块石板,从第2圈开始,每1圈比前1圈多9块,共有9圈,则:【导学号:18082090】图223(1)第9圈共有多少块石板?(2)前9圈一共有多少块石板?【解】(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.由等差数列的通项公式,得第9圈石板块数为:a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块).(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈石板总数为:S9=9a1+d=9×9+×9=405(块).答:第9圈共有81块石板,前9圈一共有405块石板.[能力提升]1.如图224所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N+)个点,相应的图案中总的点数记为an,则a2+a3+a4+…+an等于()2图224A.B.C.D.【解析】由图案的点数可知a2=3,a3=6,a4=9,a5=12,所以an=3n-3,n≥2,所以a2+a3+a4+…+an==.【答案】C2.已知命题:“在等差数列{an}中,若4a2+a10+a()=24,则S11为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为()A.15B.24C.18D.28【解析】设括号内的数为n,则4a2+a10+a(n)=24,∴6a1+(n+12)d=24.又S11=11a1+55d=11(a1+5d)为定值,所以a1+5d为定值.所以=5,n=18.【答案】C3.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则使得为整数的n的个数是________.【解析】由等差数列的性质,知====∈Z,则n-2只能取-1,1,3,11,33这5个数,故满足题意的n有5个.【答案】54.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)设数列{bn}的通项公式bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.【解】(1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)证明:由(1)得Sn==n(n+1),则bn==n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn==.3