等差数列的前n项和(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()A.7B.15C.20D.25【解析】S5＝＝＝＝15.【答案】B2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于()A.1B.－1C.2D.【解析】＝＝＝×＝1.【答案】A3.在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为()【导学号：18082088】A.37B.36C.20D.19【解析】∵{an}是等差数列，a1＝0，由am＝a1＋a2＋…＋a9得0＋(m－1)d＝9a5＝36d.又d≠0，∴m＝37.【答案】A4.已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A.B.C.10D.12【解析】∵公差为1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.【答案】B5.在等差数列{an}和{bn}中，a1＋b100＝100，b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项和为()A.0B.100C.1000D.10000【解析】{an＋bn}的前100项的和为＋＝50(a1＋a100＋b1＋b100)＝50×200＝10000.【答案】D二、填空题6.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.【导学号：18082089】【解析】a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝.【答案】7.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.【解析】因为am－1＋am＋1＝2am，所以2am－a＝0，1所以am＝0或am＝2.因为S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，所以am＝2，所以(2m－1)×2＝38，解得m＝10.【答案】108.若数列的前n项和为Sn，且Sn＝，则n＝________.【解析】∵＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.由已知得＝，解得n＝19.【答案】19三、解答题9.等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.【解】(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则解得∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.10.在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图223所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：【导学号：18082090】图223(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？【解】(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块).(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为：S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块).答：第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板.[能力提升]1.如图224所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于()2图224A.B.C.D.【解析】由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝＝.【答案】C2.已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为()A.15B.24C.18D.28【解析】设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，∴6a1＋(n＋12)d＝24.又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值.所以＝5，n＝18.【答案】C3.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则使得为整数的n的个数是________.【解析】由等差数列的性质，知＝＝＝＝∈Z，则n－2只能取－1,1,3,11,33这5个数，故满足题意的n有5个.【答案】54.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.【解】(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.3
