三角函数的模型及应用1.设向量a＝(1，sinθ)，b＝(3sinθ，1)，且a∥b，则cos2θ等于()A．－B．－C.D.2.函数y＝sinx(3sinx＋4cosx)(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对(M，T)为()A．(5，π)B．(4，π)C．(－1，2π)D．(4，)3.(2013·南通模拟)已知电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asinωt，t∈[0，＋∞)，设ω＝100π，A＝5，则电流I(A)首次达到峰值时t的值为()A.B.C.D.4.设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系.t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A．y＝12＋3sint，t∈[0，24]B．y＝12＋3sin(t＋π)，t∈[0，24]C．y＝12＋3sint，t∈[0，24]D．y＝12＋3sin(t＋)，t∈[0，24]5.已知等腰三角形ABC的腰长为底边长的2倍，则顶角A的正切值为__________．6.某商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为____________________．7.在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10m，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为______m.8.如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB＝________.9.化工厂主控制表盘高1m，表盘底边距地面2m，问值班人员坐在什么位置看表盘看得最清楚？(设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2m)10.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝，0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．第25讲1．D2.B3.C4.A5.6．f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N*)7．15解析：如图所示，依题意有PB＝BA＝30，PC＝BC＝10.在△BPC中，由余弦定理可得：cos2θ＝＝，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在△PCD中，可得PD＝PC·sin4θ＝10·＝15.8.a解析：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得，BC＝＝a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB＝＝a.7．解析：如图，设∠CAD＝β，∠BAD＝α，∠BAC＝φ，CD＝2－1.2＝0.8，设AD＝x(x>0)，则tanα＝＝＝；tanβ＝＝，因为tanφ＝tan(α－β)＝＝≤＝＝.当x＝，即x＝1.2时，tanφ达到最大值，因为φ是锐角，所以tanφ最大时，视角φ最大，所以值班人员看表最清楚的位置为AD＝1.2m，即表盘前1.2m处．10．解析：(1)如图，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ，sinθ＝.由于0°<θ<90°，所以cosθ＝＝.由余弦定理得BC＝＝10.所以船的行驶速度为＝15(海里/小时)．(2)(方法一)如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.由题设有，x1＝y1＝AB＝40，x2＝ACcos∠CAD＝10cos(45°－θ)＝30，y2＝ACsin∠CAD＝10sin(45°－θ)＝20.所以过点B、C的直线l的斜率k＝＝2，直线l的方程为y＝2x－40.又点E(0，－55)到直线l的距离d＝＝3<7.所以船会进入警戒水域．(方法二)如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得：cos∠ABC＝＝＝.从而sin∠ABC＝＝＝.在△ABQ中，由正弦定理得：AQ＝＝＝40.由于AE＝55>40＝AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE－AQ＝15.过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×＝3<7.所以船会进入警戒水域．
