本章综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷(选择题，共32分)一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分．)1．复数＝()A．－－iB．－＋iC.－iD.＋i解析：＝＝＝.故选C.答案：C2．若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是()A．2B．3C．4D．5解析：x＋yi＝＝4－3i，所以复数的模为5.当然也可以利用复数相等来求得x，y的值．即－y＋xi＝3＋4i，x＝4，y＝－3，选D.答案：D3．(2019年高考·课标全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i解析：z＝＝＝＝1＋i.故选D.答案：D4．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i解析：由z(2－i)＝11＋7i得：z＝＝＝＝3＋5i答案：A5．复数z满足|z|－z＝＋i，则z＝()A．－－iB．－＋iC.－iD．－＋i解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)－a－bi＝＋i∴z＝－i.答案：C6．复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2∈R的充要条件是()A．a2＋b2＝0B．a＝0且b≠0C．a≠0D．ab＝0解析：z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R1即2ab＝0∴ab＝0.答案：D7．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以解得a<－1，故选B.答案：B8．若z＝a＋bi(a>0，b>0)，且ab＝2，则|z＋i|的最小值为()A.B．2C．2D．4解析：|z＋i|＝|a＋bi＋(a－bi)i|＝|(a＋b)＋(a＋b)i|＝(a＋b)|1＋i|＝(a＋b)≥·2＝4，当且仅当a＝b＝时，“＝”成立，选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共68分)二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分．)9．(2018年高考·江苏卷)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．解析：复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2.答案：210．在复平面内，复数的6＋5i与复数－3＋4i分别表示向量OA与OB，则表示向量BA的复数是__________．解析：zBA＝zOA－zOB＝6＋5i－(－3＋4i)＝9＋i.答案：9＋i11．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则a＋b＝__________.解析：由(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i.根据复数相等的定义知a＝1，b＝－1.∴a＋b＝0.答案：012．已知复数z＝，则|z|＝__________.解析：z＝＝·＝＝＋i.∴|z|＝＝.答案：13．若复数z满足|z＋4|＝|z－4|＝5，则z＝__________.解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则解之得∴z＝±3i.2答案：±3i14．给出下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；④若z＝，则z3＋1对应的点在第一象限．其中正确命题序号为__________(填序号)．解析：①错误，例如z＝i，则i2＝－1＜0②错误，两个复数不能比较大小③错误，当a＝－1时，(a＋1)i是实数④正确，z＝＝＝－i，则(－i)3＋1＝i＋1在第一象限．答案：④三、解答题(本题共6小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(6分)若复数(m2＋1)＋(m2－m)i与复数2＋(m－1)i是共轭复数，求实数m的值．解：由共轭复数的概念知，∵m∈R∴∴m＝±1.16．(6分)设z∈C，|z|＋z＝2＋＋i，求z.解：设z＝x＋yi(x，y∈R)＋x＋yi＝2＋＋i由复数相等的充要条件，得∴，∴z＝2＋i.17．(6分)已知：z1＝－3＋i，z2＝5－3i对应的向量分别为OZ1和OZ2，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1CZ2，求向量OC，Z1Z2和Z2Z1对应的复数．解：如图1所示：由复数的加减法的几何意义知OC＝OZ1＋OZ2＝z1＋z2＝－3＋i＋5－3i＝2－2i\s\up7()Z1Z2＝OZ2－OZ1＝z2－z1＝5－3i－(－3＋i)＝8－4iZ2Z1＝－8＋4i.18．(8分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2，求复数z.解：设z＝x＋yi(x，y∈R)由题意知z2＝(x＋yi)2＝x2＋2xyi－y2即∴或，∴z＝1＋i或z＝－1－i.19．(8分)若复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2＋i其中a∈R，若|z1－z2|＜|z1|，求a的取值范围．解：由已知得z1＝＝3＝＝＝2＋3i，∴|z1|＝由|2＋3i－(a－2)－i|＜|z1|得|4－a＋2i|＜，即＜∴a2－8a＋7＜0∴1＜a＜7.20．(10分)已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝且|ω|＝5，求复数z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)由|ω|＝＝＝＝5∴|z|＝5(1＋3i)(a＋bi)＝(a－3b)＋(3a＋b)i为纯虚数或∴z＝15＋5i或z＝－15－5i.4
