3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）基础练习1．设函数f(x)＝lnx，则f′(e)等于()A．1B．－1C．eD．【答案】D2．已知函数f(x)＝cosx，则f(x)的导函数的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．即是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【答案】A3．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的点P坐标为()A．(－2，－8)B．(－1，－1)，(1,1)C．(2,8)D．【答案】B4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A．e2B．2e2C．e2D．【答案】D5．函数y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝______.【答案】3【解析】(xα)′＝αxα－1，根据题意，知α·2α－1＝12，解得α＝3.6．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝lnx，若2x(f′(x)＋1)－g′(x)＝1，则x＝________.【答案】1【解析】因为f′(x)＝0，g′(x)＝，所以2x(f′(x)＋1)－g′(x)＝2x－＝1.解得x＝1或x＝－.因为x＞0，所以x＝1.7．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解：y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝.∴切点为M.∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.8．求曲线y＝sinx在点处的切线方程．解：y＝sinx的导函数为y′＝cosx.当x＝时，y′＝cos＝，即y＝sinx在点处的切线斜率为.所以曲线y＝sinx在点处的切线方程为y－＝，即x－2y＋1－＝0.能力提升19．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为()A．3x－2y－1＝0B．2x－3y＋1＝0C．2x＋3y－5＝0D．x＋y－2＝0【答案】B【解析】y＝＝x，则y′＝x－，y′＝，所以所求切线方程为y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0.10．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数的“新驻点”，若函数g(x)＝sinx(0＜x＜π)，h(x)＝lnx(x＞0)，φ(x)＝x2(x＞0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．b＞a＞c【答案】B【解析】①若g(x)＝sinx，则g′(x)＝cosx，由sinx＝cosx，解得x＝，即a＝＜1.②若h(x)＝lnx，则h′(x)＝，由lnx＝，令r(x)＝lnx－，可知r(1)＜0，r(2)＞0，故1＜b＜2.③若φ(x)＝x2，则φ′(x)＝2x，由x2＝2x，x＞0，得x＝2，故c＝2.综上，c＞b＞a.故选B．11．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．【答案】(1,1)【解析】由y＝ex，得y′＝ex，y′|x＝0＝1.∵y＝ex在(0,1)处的切线与y＝(x＞0)在点P处的切线垂直，∴点P处的切线斜率为－1.由y＝，得y′＝－，设点P(x0，y0)，∴－＝－1.∴x0＝±1.∵x＞0，∴x0＝1.∴y0＝1，即P(1,1)．12．已知函数f(x)＝xa(a为常数且a＞0)的图象在x＝1处的切线为l，若l与两坐标轴围成的三角形面积为，求a的值．解：由f(x)＝xa，可得f′(x)＝axa－1，∴f′(1)＝a.又f(1)＝1，∴切线l的方程为y－1＝a(x－1)．∴l与两坐标轴的交点分别为，(0,1－a)．∴l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝·|1－a|＝.由S＝，得2－a－＝±.解得a＝2或.23
