高二数学期末复习之平行与垂直http://www.dearedu.com一.知识网络二．数学思想.1．降维转化思想――将空间图形转化为平面图形.2．数形结合思想――正确画图，识图，分析图，是解立体几何题的关键.3．推理思想，运用定理的条件，进行结论的推理是立体几何证明的难点。三．典型例题例1.给出下列命题①如果一直线和另一直线平行，则它和经过另一直线的任何平面平行。②平行于同一平面的两直线平行。③a,b为异面直线，则存在一个经过a且平行于b的平面。④平行于同一平面的两平面平行。其中正确的命题个数为（）A．1个B.2个C.3个D.4个例2.给出下列命题①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行。②一直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直。③垂直于三角形二边的直线必垂直于第三边。④过A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内。⑤如果三条共点的直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另二条直线确定的平面。其中正确的个数为（）A．2个B.3个C.4个D.5个例3．下列命题中正确的是（）A．若a是平面M的斜线，直线b垂直于a在平面M内的射影，则a⊥b。B．若a是平面M的斜线，平面N内的直线b垂直于a在平面M内射影，则a⊥b.C．若a是平面M的斜线，b是平面M内的一条直线，且b垂直于a在另一平面上的射影，则a⊥b.D．若a是平面M的斜线，直线b平行于平面M,且垂直于a在这平面M上的射影，则a⊥b例4．下列命题中正确的是（）①过直线外一点，只能引一条直线和这条直线平行。②过平面外一点，只能引一条直线和这个平面平行，③过直线外一点，只能引一条直线和这条直线垂直，④过平面外一点,只能引一条直线和这个平面垂直例5．下列命题中正确的是（）①若一个平面内有二相交直线都平行于另一个平面，则这两平面平行②垂直于同一直线的两平面平行③平行于同一直线的两平面平行④平行于同一平面的两平面平行例6．若有平面α，β且α∩β＝l，α⊥β，点Pα，Pl，则下列命题中假命题为（）A．过点P且垂直于α的直线平行于βB.过点P且垂直于l的平面垂直于β。C．过点P且垂直于β的直线在α内D.过点P且垂直于l的直线在α内。例7.已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D，E，F分别为AC，BC，SC的中点.试判断SG与平面DEF的位置关系并证明.SG//面DEF证明：思路一：线线平行＝>线面平行思路二：面面平行＝>线面平行例7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别为BD和CD1上一点，且BP=CQ。求证：PQ//平面ADD1A1分析：证线面平行判定？在平面AD1上找一条与PQ平行的直线，证明一过PQ的平面与AD1平行，证明（法一）：过P作PE//AB交AD于E，过Q作QF//DC，交DD1于F，连结EF，则，， 正方体ABCD-A1B1C1D1，∴CD1=BD，AB//DC，又 BP=CQ，∴EPFQ，∴四边形EPQF为平行四边形，∴EF//PQ，又 EF平面ADD1A1∴PQ//平面ADD1A1。（法二）：连结CP延长交DA或其延长线于G，连结D1G， 正方体ABCD-A1B1C1D1，CQ=BP，∴，又 DA//BC，∴，∴，∴PQ//D1G，而D1G平面ADD1A1，∴PQ//平面ADD1A1（法三）：过Q作QK//D1D交DC于K，连结PK,则有：又 正方体A-D1中，CQ=BP，∴，∴KP//BC//AD,QK∩PK=K,∴平面PKQ//平面ADD1A1， PQ平面PKQ,∴PQ//平面ADD1A1。例8．如图，两个全等正方形ABCD与ABEF所在平面相交于AB，ME∈AC，NE∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE．8．证明：过M在平面AC内作直线AB的平行线交于BC于G，过N在平面AE内作直线AB的平行线交BE于H，连GH，只要证明GH∥MN即可，事实上， MG∥AB，NH∥AB，∴MG∥NH．又 ABMG＝ACMC，FENH＝BFBN，且ABCD和ABEF是两个全等的正方形，AM＝FN，∴AC＝BF，MC＝BN，从而有ABMG＝FENH，∴MG＝NH，∴四边形MGHN为平行四边形．∴MN∥GH．又 GH平面BCE，MNË平面BCE，∴MN∥平面BCE．例9．空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝BC＝a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少9．证明：（1） BC∥平面EFGH，BC平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF，∴BC∥EF，同理BC∥HC，∴EF∥HG．同理可证EH...
