高二数学期末复习之平行与垂直http://www.dearedu.com一.知识网络二.数学思想.1.降维转化思想――将空间图形转化为平面图形.2.数形结合思想――正确画图,识图,分析图,是解立体几何题的关键.3.推理思想,运用定理的条件,进行结论的推理是立体几何证明的难点。三.典型例题例1.给出下列命题①如果一直线和另一直线平行,则它和经过另一直线的任何平面平行。②平行于同一平面的两直线平行。③a,b为异面直线,则存在一个经过a且平行于b的平面。④平行于同一平面的两平面平行。其中正确的命题个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个例2.给出下列命题①一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行。②一直线垂直于平面内无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直。③垂直于三角形二边的直线必垂直于第三边。④过A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内。⑤如果三条共点的直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另二条直线确定的平面。其中正确的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个例3.下列命题中正确的是()A.若a是平面M的斜线,直线b垂直于a在平面M内的射影,则a⊥b。B.若a是平面M的斜线,平面N内的直线b垂直于a在平面M内射影,则a⊥b.C.若a是平面M的斜线,b是平面M内的一条直线,且b垂直于a在另一平面上的射影,则a⊥b.D.若a是平面M的斜线,直线b平行于平面M,且垂直于a在这平面M上的射影,则a⊥b例4.下列命题中正确的是()①过直线外一点,只能引一条直线和这条直线平行。②过平面外一点,只能引一条直线和这个平面平行,③过直线外一点,只能引一条直线和这条直线垂直,④过平面外一点,只能引一条直线和这个平面垂直例5.下列命题中正确的是()①若一个平面内有二相交直线都平行于另一个平面,则这两平面平行②垂直于同一直线的两平面平行③平行于同一直线的两平面平行④平行于同一平面的两平面平行例6.若有平面α,β且α∩β=l,α⊥β,点Pα,Pl,则下列命题中假命题为()A.过点P且垂直于α的直线平行于βB.过点P且垂直于l的平面垂直于β。C.过点P且垂直于β的直线在α内D.过点P且垂直于l的直线在α内。例7.已知点S是正三角形ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,SG为△SAB上的高,D,E,F分别为AC,BC,SC的中点.试判断SG与平面DEF的位置关系并证明.SG//面DEF证明:思路一:线线平行=>线面平行思路二:面面平行=>线面平行例7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q分别为BD和CD1上一点,且BP=CQ。求证:PQ//平面ADD1A1分析:证线面平行判定?在平面AD1上找一条与PQ平行的直线,证明一过PQ的平面与AD1平行,证明(法一):过P作PE//AB交AD于E,过Q作QF//DC,交DD1于F,连结EF,则,, 正方体ABCD-A1B1C1D1,∴CD1=BD,AB//DC,又 BP=CQ,∴EPFQ,∴四边形EPQF为平行四边形,∴EF//PQ,又 EF平面ADD1A1∴PQ//平面ADD1A1。(法二):连结CP延长交DA或其延长线于G,连结D1G, 正方体ABCD-A1B1C1D1,CQ=BP,∴,又 DA//BC,∴,∴,∴PQ//D1G,而D1G平面ADD1A1,∴PQ//平面ADD1A1(法三):过Q作QK//D1D交DC于K,连结PK,则有:又 正方体A-D1中,CQ=BP,∴,∴KP//BC//AD,QK∩PK=K,∴平面PKQ//平面ADD1A1, PQ平面PKQ,∴PQ//平面ADD1A1。例8.如图,两个全等正方形ABCD与ABEF所在平面相交于AB,ME∈AC,NE∈FB,且AM=FN,求证:MN∥平面BCE.8.证明:过M在平面AC内作直线AB的平行线交于BC于G,过N在平面AE内作直线AB的平行线交BE于H,连GH,只要证明GH∥MN即可,事实上, MG∥AB,NH∥AB,∴MG∥NH.又 ABMG=ACMC,FENH=BFBN,且ABCD和ABEF是两个全等的正方形,AM=FN,∴AC=BF,MC=BN,从而有ABMG=FENH,∴MG=NH,∴四边形MGHN为平行四边形.∴MN∥GH.又 GH平面BCE,MNË平面BCE,∴MN∥平面BCE.例9.空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于E、F、G、H.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少9.证明:(1) BC∥平面EFGH,BC平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EF,∴BC∥EF,同理BC∥HC,∴EF∥HG.同理可证EH...