专题强化练十三椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：不妨设a＞0，由焦点F(2，0)，知c＝2.所以a2＝4＋c2＝8，a＝2.故离心率e＝＝＝.答案：C2．(2018·济南质检)已知抛物线C：x2＝4y，过抛物线C上两点A，B分别作抛物线的两条切线PA，PB，P为两切线的交点，O为坐标原点，若PA·PB＝0，则直线OA与OB的斜率之积为()A．－B．－3C．－D．－4解析：由x2＝4y，得y′＝.设A，B.由PA·PB＝0，得PA⊥PB.所以·＝－1，则xA·xB＝－4，又kOA·kOB＝·＝＝－.答案：A3．(2018·河南郑州二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：由题意可得＝，4a＝12，解得a＝3，c＝2，则b＝＝，所以所求椭圆C的方程为＋＝1.答案：D4．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为()A.B.C.D.解析：由c2＝a2＋b2＝4，得c＝2，所以F(2，0)．将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，则|PF|＝3.又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝.答案：D5．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F点且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点，则该抛物线的方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝16x解析：易求直线l的方程y＝x－，①又y2＝2px，②联立①②，得x2－3px＋＝0不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝3p，x1x2＝，又点M在以AB为直径的圆上．所以·(x2＋，y2－2)＝0.则2x1x2－2(x1＋x2)＋4＋2p＋＝0，从而p2－4p＋4＝0，p＝2，故所求抛物线方程为y2＝4x.答案：B二、填空题6．(2018·北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：对于y2＝4ax，令x＝1，得y＝±2，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4＝4，则a＝1.故抛物线的焦点F(1，0)．答案：(1，0)7．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．解析：不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2.答案：28．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P(x1，y1)(x1＞1)、Q(x2，y2)是C上不同的两点，若△PFQ是以F为顶点的等腰直角三角形，则|PF|＝________．解析：Rt△PFQ是以F为顶点的等腰直角三角形，由抛物线的定义及对称性，|FH|＝|PH|，又x1＝＞1，知，y1＞2.所以－1＝y1，解得y1＝2＋2，故|PF|＝·|PH|＝4＋2.答案：4＋2三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.10．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1，0)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．解：(1)依题意可得解得所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．联立方程组消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝.所以y1·y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝.因为OM⊥ON，所以OM·ON＝0.所以x1·x2＋y1·y2＝＝0，所以k＝±.故直线l的方程为y＝±(x－1)．11．设F1，F2分...
