2.7抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)对抛物线x2=4y,下列描述不正确的是()A.开口向上,焦点为(0,1)B.开口向上,焦点为(0,116)C.开口向右,焦点为(1,0)D.开口向右,焦点为(116,0)解析 抛物线的标准方程为x2=4y,∴2p=4,p=2,解得p2=1,因此抛物线的焦点为(0,1),准线为y=-1,可得该抛物线的开口向上.答案BCD2.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是()A.2B.1C.14D.12解析抛物线y=2x2化为x2=12y,∴焦点到准线的距离为14.答案C3.平面上动点M到点F(3,0)的距离等于M到直线l:x=-3的距离,则动点M满足的方程是()A.y2=6xB.y2=12xC.x2=6yD.x2=12y解析由条件可知,点M到点F(3,0)的距离与到直线x=-3的距离相等,所以点M的轨迹是以F(3,0)为焦点,x=-3为准线的抛物线,其方程为y2=12x.答案B4.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)解析抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,由题设知-p2=-1,即p=2,故焦点坐标为(1,0).答案B5.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0等于()A.4B.2C.1D.8解析如图,F(14,0),过A作AA'⊥准线l,∴|AF|=|AA'|,∴54x0=x0+p2=x0+14,∴x0=1.答案C6.如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线,垂足为B.若△ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是()A.y2=12xB.y2=xC.y2=2xD.y2=4x解析设直线l交x轴于点C. AB⊥l,l⊥x轴,∴AB∥x轴,可得∠BFC=∠ABF=60°,Rt△BCF中,|CF|=|BF|cos60°=p,解得|BF|=2p,由AB⊥y轴,可得3+p2=2p,∴p=2,∴抛物线的标准方程是y2=4x.答案D7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.答案98.一抛物线形拱桥,当桥顶离水面2米时,水面宽4米,若水面下降2米,则水面宽为米.解析以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由当桥顶离水面2米时,水面宽4米可得图中点A的坐标为(2,-2),所以4=-2p×(-2),解得p=1.所以抛物线的方程为x2=-2y.当水面下降2米,即当y=-4时,可得x2=-2×(-4)=8,解得x=±2√2,因此水面宽为4√2米.答案4√29.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.解(1)双曲线方程可化为x29−y216=1,左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且-p2=-3,∴p=6,∴抛物线的方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2nx(n≠0),A(m,-3),由抛物线定义得5=|AF|=|m+n2|.又(-3)2=2nm,∴n=±1或n=±9,故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.10.已知点P是抛物线x2=4y上的动点,点P在x轴上的射影是点Q,点A的坐标是(8,7),求|PA|+|PQ|的最小值.解抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,如图,设点P在准线上的射影是点M,根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=√82+(7-1)2-1=10-1=9,当且仅当A,P,F三点共线时,等号成立.故|PA|+|PQ|的最小值为9.能力提升练1.AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是()A.2B.12C.32D.52解析设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,∴x1+x22=32.答案C2.抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则()A.x1,x2,x3成等差数列B.x1,x3,x2成等差数列C.y1,y2,y3成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列解析 抛物线y2=2px(p>0),∴其准线方程为x=-p2,设点A,B,C在直线x=-p2上的射影分别为M,N,Q,由抛物线的定义得|AF|=|AM|=x1+p2,|BF|=|BN|=x2+p2,|CF|=|CQ|=x3+p2, |AF|,|BF|,|CF|成等差数列,∴2|BF|=|AF|+|CF|,∴2(x2+p2)=x1+p2+x3+p2,∴2x2=x1+x3,∴x1,x2,x3成等差数列.答案A3.(多选)方程√(x-2)2+(y-2)2=|3x-4y-6|5表示的曲线不可能为()A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.圆解析设P(x,y),由方程√(x-2)2+(y-2)2=|3x-4y-6|5得,点P到点F(2,2...
