第四节平面向量应用举例[基础达标]一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·山西忻州一中月考)设P为等边三角形ABC所在平面内一点,满足+2,若AB=1,则的值为()A.4B.3C.2D.11.B【解析】=()()=·()+=(+2)·(+2)-(+2)·()+=2+2CA·=2×12+2×1×1×=3.2.(2015·辽宁五校联考)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若平面上的三个不共线的向量满足=a1+a2014,且A,B,C三点共线,则S2014=()A.1007B.1006C.2012D.20142.A【解析】因为=a1+a2014,又A,B,C三点共线,所以a1+a2014=1,所以S2014=×2014=1007.3.(2016·银川一中月考)在△ABC中,AB=2,AC=4.P是△ABC的外心,数量积等于()A.6B.-6C.3D.-33.A【解析】设AB,AC边的中点分别为D,E,由·()==||×||-||×||=|2-|2=8-2=6.4.(2016·浙江余姚中学开学考试)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若=0,则实数m=()A.0B.C.D.4.C【解析】由题可得⇒8x2-20x+8=0,解得x=2或x=,则A(2,2),B,由=0可得(3,2-m)=0,化简得2m2-2m+1=0,解得m=.5.(2016·哈尔滨六中月考)已知a=(-1,1),=a-b,=a+b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积是()A.1B.C.2D.45.C【解析】由题可知||=||,即有|a-b|=|a+b|,即a·b=0,得a⊥b,由a=(-1,1)可知|a|=,因为=a2-b2=0,所以|b|=|a|,故||=||=2,S=×OA×OB=×2×2=2.6.(2016·江西吉安一中月考)在△ABC中,点D满足,点E是线段AD上的一个动点,若=λ+μ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是()A.B.C.D.6.C【解析】如图所示,点E在线段AD上,所在存在实数k,使得=k,0≤k≤1,由,得=k()=k,所以因此由t=(λ-1)2+μ2,得t=k2=k-2+,因此当k=时,t取最小值.7.(2015·张掖诊断)已知F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆=1(a>b>0)的左、右两个焦点,P为椭圆上的一点,且=c2,则椭圆的离心率的取值范围为()A.B.C.D.7.D【解析】设P(x0,y0),则=1,所以=b2,又因为=c2,即有(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=c2,整理得-c2+=c2,从而有+b2=2c2,即(3c2-a2),0≤≤a2,所以0≤(3c2-a2)≤a2,求得≤e≤.二、填空题(每小题2分,共10分)8.(2016·宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-6x+5=0,点A,B在圆C上,且AB=2,则||的最大值是.8.8【解析】由题可设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x',y'),所以x'=,y'=,所以=(x1+x2,y1+y2)=2,圆C:x2+y2-6x+5=0的圆心为(3,0),半径CA为2,又因为点A,B在圆C上,且AB=2,所以CA2-CM2=,故CM=1,即点M在以C为圆心,1为半径的圆上,所以||max=4,所以||max=2||max=8.9.已知向量i和j为互相垂直的单位向量,向量a=i-2j,b=i+λj,a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是.9.(-∞,-2)∪【解析】 0<
<,∴0<1,∴0<<1,即0<<1,解得λ<且λ≠-2,∴λ的取值范围是(-∞,-2)∪.三、解答题(共10分)10.(10分)(2016·河南中原名校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(cosA,cosB),n=(a,2c-b),且m∥n.(1)求角A的大小;(2)若a=4,求△ABC面积的最大值.10.【解析】(1)因为m∥n,所以acosB-(2c-b)cosA=0,由正弦定理得sinAcosB-(2sinC-sinB)cosA=0,所以sinAcosB-2sinCcosA+sinBcosA=0,即sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA,所以sin(A+B)=2sinCcosA.又A+B+C=π,所以sinC=2sinCcosA,因为00,所以cosA=,又00,y>0,所以4x+y=+2,当且仅当y=2x时有最小值,故最小值为.2.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上任一点,且最小值的取值范围是,则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,)B.[,2]C.(1,]D.[2,+∞)2.B【解析】设P(m,n),则=1,即有m2=a2,又设F1(-c,0),F2(c,0),即=(-m-c,-n),=(c-m,-n),则=n2+m2-c2=n2+a2-c2=n2+a2-c2≥a2-c2(当n=0时取得等号).则有最小值为a2-c2.由题意可得-c2≤a2-c2≤-c2,即有c2≤a2≤c2,即c≤a≤c,则有≤e≤2.3....
