大庆实验中学2015—2016学年度下学期开学考试高二数学(理)试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．α,β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（）A．α⊥β，且a⊥βB．α∩β=b，且a∥bC．a∥b，且b∥αD．α∥β，且a⊂β2.命题则()A．p是假命题，：B．p是假命题，：C．p是真命题，：D．p是真命题，：3.阅读右面的程序框图，则输出的S=（）(A)(B)(C)(D)4.设等差数列{na}的前n项和为nS，若63SS=3，则=（）A.B.73C.83D.5.连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m,n，记向量的夹角为，则的概率是（）A.B.C.D.6.已知圆的方程为,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()1A．10B．20C．30D．407．设，函数有最小值，则不等式的解集（）A.B.C.D.8.设f(x)＝，则等于()[来源:Z-x-x-k.Com]A.B.C.D.9.已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(yxyxyxAyxyxyx，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．92B．32C．31D．9110.已知抛物线，过点作一直线交抛物线于，两点，若，则的值为（）A.B.C.D.11.若函数在区间不单调，则b的取值范围是()A．B．C．D．12.已知点是双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为则（）A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则圆锥的体积等于14.向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围是15.已知函数)(xf是定义在R上的偶函数，，则不等式的解集16．已知抛物线过焦点作与轴垂直的直线2，上任意一点处的切线为，与交于，与准线交于，则三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数（1）求函数的最小正周期和单调区间；（2）设锐角的三个内角A、B、C的对应边分别是若求18.(本小题满分12分)设等比数列的前项和为，已知,且成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.19.(本小题满分12分)随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班身高不低于173cm的同学中随机抽取两名同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率20．(本小题满分12分)如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值321.(本小题满分12分)已知椭圆：经过点，且离心率等于．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由。22.(本小题满分12分)已知函数(为实常数).(1)当时,求函数在上的最大值及相应的值;(2)当时,讨论方程根的个数.[来源:Z-x-x-k.Com](3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围.4高二数学(理)参考答案单调递增区间，单调递减区间，乙的平均值大（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），P（0，0，1），E（，0，），∴=（，0，），=（0，1，0），=（﹣1，0，1）．∴•=0，•=0，所以⊥，⊥．所以AE⊥BC，AE⊥BP．因为BC，BP⊂平面PBC，且BC∩BP=B，所以AE⊥平面PBC．（2）解：设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0．因为=（﹣1，2，0），=（0，3，﹣1），所以．令x=2，则y=1，z=3．所以=（2，1，3）是平面PCD的一个法向量．因为AE⊥平面PBC，所以平面PBC的法向量．所以cos＜，＞==．5根据图形可知，二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．21.解：，[来源:学*科*网]联立椭圆方程得由得，，所以过定点22.解:(1),当时,.当时,,又,故,当时,取等号(2)易知,故,方程根的个数等价于时,方程根的个数.设=,当时,,函数递减,当时,,函数递增.又,,作出与直线的图像,由图像知:当时,即时,方程有2个相异的根;当或时,方程有1个根;当时,方程有0个根;(3)当时,在时是增函数,又函数是减函数,不妨设,则等价于即,故原题等价于函数在时是减函数,6恒成立,即在时恒成立.在时是减函数7
