2017高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第11讲利用导数研究函数的单调性、极值、最值(理)习题A组基础巩固一、选择题1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()[答案]C[分析]→→[解析]由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜x1时，f′(x)＜0，即函数f(x)为减函数；当x＞x1时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确．2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)[答案]D[分析]→[解析]由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．3．(2015·重庆一模)函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝log2(x2＋bx＋)的单调递减区间为()A．[，＋∞)B．[3，＋∞)C．[－2,3]D．(－∞，－2)[答案]D[解析]因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝f′(3)＝0.所以解得令g(x)＝x2＋bx＋，则g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1.由g(x)＝x2－x－6＞0，解得x＜－2或x＞3.当x＜时，g′(x)＜0，所以g(x)＝x2－x－6在(－∞，－2)上为减函数．所以函数y＝log2(x2＋bx＋)的单调递减区间为(－∞，－2)．故选D．4．(2015·陕西)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A．－1是f(x)的零点B．1是f(x)的极值点C．3是f(x)的极值D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上[答案]A[解析]由A知a－b＋c＝0；由B知f′(x)＝2ax＋b,2a＋b＝0；由C知f′(x)＝2ax＋b，令f′(x)＝0可得x＝－，则f(－)＝3，则＝3；由D知4a＋2b＋c＝8.假设A选项错误，则，得，满足题意，故A结论错误．同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A．5．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为()A．B．C．＋1D．－1[答案]D[解析]f′(x)＝＝，若a＞1，当x＞时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当1＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＝时，令f(x)＝＝，＝＜1，不合题意．若0＜a≤1，则f′(x)≤0，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1，故选D．6．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a[答案]B[解析]由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．又x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，可知f′(x)＞0.即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)＜f(0)＜f()，即c＜a＜b.二、填空题7．函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的单调增区间为________.[答案](，)[解析] y′＝1－2cosx，∴由即得＜x＜.∴函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的增区间为(，)．8．若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)＞1，则不等式f(x)－x＞0的解集为________.[答案](2，＋∞)[解析]令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.由题意知g′(x)＞0，∴g(x)为增函数． g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)＞0的解集为(2，＋∞)．9．若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________.[答案]－－[解析]y′＝＋2bx＋1.由已知解得10．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a＞)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.[答案]1[解析] f(x)是奇函数，且当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a＞，∴0＜＜2.当x＜时，f′(x)＞0，f(x)在(0，)上单调递增；当x＞时，f′(x)＜0，f(x)在(，2)上单调递减，∴f(x)max＝f()＝ln－a·＝－1，解得a＝1.三、解答题11．已知函数f(x)＝ex－kx2，x∈R.若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，试求k的取值范围.[答案](－∞，][解...
