考点八导数及其应用一、选择题1．(2019·银川模拟)函数y＝xcosx－sinx的导函数为()A．y′＝xsinxB．y′＝－xsinxC．y′＝xcosxD．y′＝－xcosx答案B解析y′＝(xcosx－sinx)′＝cosx＋x(－sinx)－cosx＝－xsinx.故选B.2．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4答案A解析如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.3．(2019·天津南开区模拟)过函数f(x)＝x3－x2图象上一个动点作图象的切线，则切线倾斜角的范围是()A.B.∪C.D.答案B解析因为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以斜率k＝tanα≥－1，解得倾斜角α∈∪.4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4答案C解析f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．因为f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0，所以f(x)max＝f(0)＝2.故选C.5．(2019·湖南师大附中考前演练(五))已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≤0时，f(x)＝x3－2x－m，则曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线斜率为()A．10B．－10C．4D．与m的取值有关答案A解析由题意知，f(0)＝0，则m＝0，即f(x)＝x3－2x，当x≤0时，函数f(x)＝x3－2x，则f′(x)＝3x2－2，所以f′(2)＝f′(－2)＝3×(－2)2－2＝10，即曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线斜率为10，故选A.6．(2019·辽宁丹东质量测试(二))若x＝1是函数f(x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex的极值点，则a的值为()A．－2B．3C．－2或3D．－3或2答案B解析 f′(x)＝(x2＋2ax＋2x－a2－a＋3)ex，∴f′(1)＝6－a2＋a＝0，解得a＝3或－2，当a＝－2时，f′(x)＝(x2－2x＋1)ex≥0恒成立，即f(x)单调递增，无极值点，舍去；当a＝3时，f′(x)＝(x2＋8x－9)ex，满足x＝1为函数f(x)的极值点，∴a＝3，故选B.7．已知函数f(x)＝x3－ax在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[3，＋∞)C．(－∞，1]D．(－∞，3]答案B解析 f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B.8．(2019·黑龙江哈尔滨六中二模)牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义xk(k∈N)是函数零点近似解的初始值，过点Pk(xk，f(xk))的切线为y＝f′(xk)(x－xk)＋f(xk)，切线与x轴交点的横坐标xk＋1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数f(x)＝x2－2，满足x0＝2应用上述方法，则x3＝()A.B.C.D.答案D解析因为f′(x)＝2x，x0＝2，y0＝2，切线斜率k0＝4，切线方程y－2＝4(x－2)，令y＝0，得x1＝；x1＝，y1＝，切线斜率k1＝3，切线方程为y－＝3，令y＝0，得x2＝；x2＝，y2＝，切线斜率k2＝，切线方程为y－＝，令y＝0，得x3＝，故选D.二、填空题9．(2019·河南焦作四模)已知f(x)＝xlnx＋，则f′(1)＝________.答案解析因为f′(x)＝1＋lnx－，所以f′(1)＝1－f′(1)，解得f′(1)＝.10．函数f(x)＝lnx－x2－x＋5的单调递增区间为________．答案解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，再由f′(x)＝－x－1>0可解得04或m<－1解析由题意可知，f′(x)＝0有不等根，即方程3x2＋2mx＋m＋＝0有不等根，所以Δ>0，即4m2－12>0，解得m>4或m<－1.三、解答题13．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值4.(1)求实数a，b的值；(2)当a>0时，求曲线y＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程．解(1) f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b. f(1)＝1＋a＋b＋a2＝4，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，∴或经检验都符合题意．(2)当a>0时，由(1)得f(x)＝x3＋3x2－9x＋9，∴f′...
