高二数学直线和平面垂直的判定和性质知识精讲 人教版VIP专享VIP免费

高二数学直线和平面垂直的判定和性质知识精讲人教版【基础知识精讲】1.直线与平面垂直的判定定义直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，叫做a垂直于α，记为a⊥α.注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的关系.判定如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.mα，nα，m∩n＝A,l⊥m,l⊥nl⊥α如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.a∥b，a⊥αb⊥α2.直线与平面垂直的性质定理性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.a⊥α，b⊥αa∥b.是证明线线平行的又一种方法.3.点、直线和平面的距离点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离.直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离.注意：一条直线上有两点到平面的距离相等时，这条直线可以和平面相交，利用直线和平面的距离可间接求两异面直线间的距离.4.平面的垂线、斜线、射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.一条直线和平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到该平面的斜线段.过斜足以外的点引平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，垂足和斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短.5.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，若直线垂直于平面，则成直角，若直线在平面内或平行于平面，我们规定为0°角，从而任意一条直线与平面成角θ的取值范围为［0°，90°］特别指出的是：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.6.三垂线定理及逆定理三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.必须弄清定理中一面四线：基础平面、平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影.它们有三种垂直关系：即垂线PA和平面α的垂直关系；射影AB和直线a的垂直关系；斜线PB和直用心爱心专心线a的垂直关系.a在平面α内，但定理与a在α的位置无关，因此要掌握a在α的不同位置的情况.熟练掌握三垂线定理及其逆定理，善于在各种空间复杂的图形中找出符合三垂线定理的面以及该面的垂线，从而应用于证明线线垂直，计算点线距离、线面交角以及二面角的平面角等，并理解cosθ＝的由来也能酌情加以应用.【重点难点解析】本课的重点是：线面垂直定义，判定定理及性质定理，应牢固掌握并熟练应用：直线与平面所成角及线面间距离，射影定理，三垂线定理及逆定理应能应用与掌握.线面垂直的定义及判定定理和性质定理的证明是本课的难点.学习本节注意体会反证法的证明思路.例1已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F(1)求证：AF⊥SC(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD分析如图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面SBC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证证明(1) SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC 矩形ABCD，∴AB⊥BC∴BC⊥平面SAB∴BC⊥AE又SB⊥AE∴AE⊥平面SBC∴SC⊥平面AEF∴AF⊥SC(2) SA⊥平面AC∴SA⊥DC，又AD⊥DC∴DC⊥平面SAD∴DC⊥AG又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF∴SC⊥AG∴AG⊥平面SDC∴AG⊥SD例2已知四面体A—BCD，AO1⊥平面BCD，且O1为ΔBCD的垂心.BO2⊥平面ACD，求证：O2是ΔACD的垂心.证明如图所示，连结BO1，AO2，用心爱心专心 AO1⊥平面BCD，O1为ΔBCD的垂心，∴BO1⊥CD，由三垂线定理得AB⊥CD.又BO2⊥平面ACD，...