3.1.2复数的几何意义[A基础达标]1.已知复数z＝a＋a2i（a<0），则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点（a，a2）位于第二象限.2.已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则＝（）A.B.C.D.5解析：选C.依题意|z1|＝＝，|z2|＝＝1，所以＝，选C.3.已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是（）A.B.C.5D.25解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为（－2，1），（1，－3），因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为＝5，故选C.4.设z＝（2m2＋2m－1）＋（m2－2m＋2）i（m∈R），则下列结论中正确的是（）A.z在复平面内对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z在复平面内对应的点在实轴上方D.z一定是实数解析：选C.2m2＋2m－1＝2（m＋）2－，m2－2m＋2＝（m－1）2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，故选C.5.已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是（）A.一个圆B.两个圆C.两点D.线段解析：选B.由|z|2－3|z|＋2＝0，得（|z|－1）·（|z|－2）＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆.6.已知复数z＝1－2mi（m∈R），且|z|≤2，则实数m的取值范围是Ｗ.解析：|z|＝≤2，解得－≤m≤.答案：7.若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝Ｗ.解析：依题意可设复数z＝a＋2ai（a∈R），由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.答案：1＋2i或－1－2i8.若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝Ｗ.解析：设复数z1，z2，z3分别对应点P1（3，－5），P2（1，－1），P3（－2，a），由已知可得＝，从而可得a＝5.答案：59.已知3－4i＝x＋yi（x，y∈R），判断|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系.解：由3－4i＝x＋yi（x，y∈R），得x＝3，y＝－4.而|1－5i|＝＝，1|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝，因为<5<，所以|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.10.在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为2＋i.（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数；（2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.解：（1）设向量OB对应的复数为z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），则点B的坐标为（x1，y1），由题意可知，点A的坐标为（2，1）.根据对称性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.（2）设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），则点C的坐标为（x2，y2），由对称性可知：x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.[B能力提升]11.已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是（）A.5B.2C.7D.3解析：选D.|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到（－3，4）这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝5－2＝3.12.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量OB对应的复数为.解析：因为复数－1＋2i对应的点为A（－1，2），点A关于直线y＝－x的对称点为点B（－2，1），所以OB对应的复数为－2＋i.答案：－2＋i13.已知O为坐标原点，OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i（a∈R）.若OZ1与OZ2共线，求a的值.解：因为OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i，所以OZ1＝（－3，4），OZ2＝（2a，1）.因为OZ1与OZ2共线，所以存在实数k使OZ2＝kOZ1，即（2a，1）＝k（－3，4）＝（－3k，4k），所以，所以即a的值为－.14.（选做题）设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？①|z|＝；②|z|≤3.解：设z＝x＋yi（x，y∈R），①|z|＝，所以x2＋y2＝2，所以点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆.②|z|≤3，所以x2＋y2≤9.所以点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部.23
